Calcule
integral e^-x^2 d x
como uma série infinita e determine o seu raio de convergência. Justifique as respostas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de e^-x^2 em forma de série infinita e descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial pode ser expandida em uma série de potências. Sabemos que:
e^x = sumn=0^infty x^nn!
No nosso caso, temos e^-x^2 , então substituímos x por -x^2 :
e^-x^2 = sumn=0^infty (-x^2)^nn! = sumn=0^infty (-1)^n x^2nn!

Passo 3

Agora, vamos integrar essa série termo a termo. A integral de uma série infinita pode ser feita integrando cada termo individualmente, desde que a série converja uniformemente no intervalo de integração. Então temos:
integral e^-x^2 , dx = integral ( sumn=0^infty (-1)^n x^2nn! ) dx = sumn=0^infty (-1)^nn! integral x^2n , dx

Passo 4

Integrando cada termo x^2n , obtemos:
integral x^2n , dx = x^2n+12n+1 + C
Portanto, a integral fica:
integral e^-x^2 , dx = sumn=0^infty (-1)^nn! (2n+1) x^2n+1 + C

Passo 5

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar para quais valores de a série converge.
O termo geral da série é:
Aplicando o Teste da Razão:
Simplificando:
Dividindo numerador e denominador por :
Para converger, precisamos que esse limite seja menor que 1:

Passo 6

Entretanto, notamos que o termo n! no denominador cresce muito mais rápido que qualquer potência de x . Isso faz com que o limite realmente vá para zero para qualquer valor finito de x . Portanto, a série converge para todo x , ou seja, o raio de convergência é infinito.

Resposta

A integral de e^-x^2 em forma de série infinita é:
integral e^-x^2 , dx = sumn=0^infty (-1)^nn! (2n+1) x^2n+1 + C
E o raio de convergência dessa série é infinito.

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