como uma série infinita e determine o seu raio de convergência. Justifique as respostas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de em forma de série infinita e descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial pode ser expandida em uma série de potências. Sabemos que:
No nosso caso, temos , então substituímos por :
Passo 3
Agora, vamos integrar essa série termo a termo. A integral de uma série infinita pode ser feita integrando cada termo individualmente, desde que a série converja uniformemente no intervalo de integração. Então temos:
Passo 4
Integrando cada termo , obtemos:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar para quais valores de a série converge.
O termo geral da série é:
Aplicando o Teste da Razão:
Simplificando:
Dividindo numerador e denominador por :
Para converger, precisamos que esse limite seja menor que 1:
Passo 6
Entretanto, notamos que o termo n! no denominador cresce muito mais rápido que qualquer potência de x . Isso faz com que o limite realmente vá para zero para qualquer valor finito de x . Portanto, a série converge para todo x , ou seja, o raio de convergência é infinito.
Resposta
A integral de e^-x^2 em forma de série infinita é:
integral e^-x^2 , dx = sumn=0^infty (-1)^nn! (2n+1) x^2n+1 + C