Determine o raio de convergência, o intervalo de convergência e a soma da série
sumn=0^infty x^n Justifique as respostas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar o raio de convergência, o intervalo de convergência e a soma da série da seguinte expressão:
sumn=0^infty x^n
Para isso, vamos usar séries de potências e aplicar testes de convergência, como o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o raio de convergência R . O raio de convergência nos diz até onde a série converge em relação ao valor de x . Usamos o teste da razão para isso, que basicamente compara os termos consecutivos da série.
A fórmula do raio de convergência é:
R = limn to infty | anan+1 |
No nosso caso, os coeficientes an são todos iguais a 1, já que a série é x^n . Então:
R = limn to infty | 11 | = 1
Portanto, o raio de convergência é 1.

Passo 3

Com o raio de convergência R = 1 em mãos, sabemos que a série vai convergir quando |x| < 1 e divergir quando |x| > 1 .
Mas o que acontece exatamente quando |x| = 1 ? Precisamos verificar os pontos extremos x = 1 e x = -1 .

Passo 4

Vamos primeiro para x = 1 :
sumn=0^infty 1^n = 1 + 1 + 1 + 1 + dots
Essa é uma série infinita que soma 1 repetidamente, ou seja, diverge.
Agora, para x = -1 :
sumn=0^infty (-1)^n = 1 - 1 + 1 - 1 + dots
Essa série não estabiliza em um valor específico, então também diverge.

Passo 5

Com isso, concluímos que a série não converge nos pontos x = 1 e x = -1 . Assim, o intervalo de convergência é:
-1 < x < 1

Passo 6

Agora, vamos encontrar a soma da série quando |x| < 1 . Essa é uma série geométrica infinita, e a soma dela é dada pela fórmula:
sumn=0^infty x^n = 11 - x
Essa fórmula funciona somente quando |x| < 1 , que é justamente o intervalo onde a série converge.

Resposta

  • Raio de convergência: R = 1
  • Intervalo de convergência: -1 < x < 1
  • Soma da série: 11 - x , para |x| < 1

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