Resolva usando séries de potência em torno do ponto x0=0:
4 x y^prime prime+2(1-x) y^prime-y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação
4x,y''+2(1-x),y'-y=0
em série de potência centrada em x0=0. Como o coeficiente de y'' se anula em x=0, temos um ponto singular regular e vamos aplicar o método de Frobenius, isto é, buscar
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n+r, a0neq0,
determinando o expoente r pela equação indicial e depois a recorrência para os coeficientes an.

Passo 2

Calculamos as derivadas formais:
y'=sumn=0^inftyan(n+r),x^n+r-1, y''=sumn=0^inftyan(n+r)(n+r-1),x^n+r-2
Substituindo em
4x,y''+2(1-x),y'-y=0
obtemos
4sumn=0^inftyan(n+r)(n+r-1),x^n+r-1 +2sumn=0^inftyan(n+r),x^n+r-1 -2sumn=0^inftyan(n+r),x^n+r -sumn=0^inftyan,x^n+r=0

Passo 3

Agrupando as potências x^n+r-1 e impondo que o coeficiente de cada potência seja zero, isolamos o termo de ordem mínima ( n=0) para obter a equação indicial:
l[,4r(r-1)+2r,r]a0=0 ;Longrightarrow; 4r^2-2r=0 ;Longrightarrow; r(4r-2)=0 ;Longrightarrow; r1=0, r2=tfrac12

Passo 4

Para n>=1, a condição de cancelamento das demais potências leva à relação de recorrência
l[4(n+r)(n+r-1)+2(n+r)r]an =l[2(n-1+r)+1r],an-1
No numerador nota-se 2(n-1+r)+1=2(n+r)-1 e no denominador
4(n+r)(n+r-1)+2(n+r) =2(n+r)l[2(n+r)-1r]
Logo
an =2(n+r)-12(n+r)l[2(n+r)-1r],an-1 =12(n+r),an-1,
que iterando dá
an =a02^n,(r+1)n,
onde (r+1)n=(r+1)(r+2)cdots(r+n) é o símbolo de Pochhammer.

Passo 5

Para r=r1=0 temos
an =a02^n,n!,
portanto
y1(x) =a0sumn=0^inftyx^n2^n,n! =a0,e^x/2

Passo 6

Para r=r2=tfrac12 obtemos
an =a02^n,(3/2)n,
e a segunda solução é
y2(x) =a0,x^1/2sumn=0^inftyx^n2^n,(3/2)n
Em forma fechada, usando redução de ordem ou funções especiais, pode-se mostrar que
y2(x)propto e^x/2,erfl(raizx/2r),
onde erf é a função erro.

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1,e^x/2+C2,x^1/2sumn=0^inftyx^n2^n,(3/2)n,
ou, equivalentemente,
y(x)=C1,e^x/2+C2,e^x/2,erfl(raizx/2r)

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