Resolva usando séries de potência em torno do ponto
:
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação
em série de potência centrada em
. Como o coeficiente de
se anula em
, temos um ponto singular regular e vamos aplicar o método de Frobenius, isto é, buscar
determinando o expoente
pela equação indicial e depois a recorrência para os coeficientes
.
Passo 2
Calculamos as derivadas formais:
Substituindo em
obtemos
Passo 3
Agrupando as potências
e impondo que o coeficiente de cada potência seja zero, isolamos o termo de ordem mínima (
) para obter a equação indicial:
Passo 4
Para
, a condição de cancelamento das demais potências leva à relação de recorrência
No numerador nota-se
e no denominador
Logo
que iterando dá
onde
é o símbolo de Pochhammer.
Passo 5
Para
temos
portanto
Passo 6
Para
obtemos
e a segunda solução é
Em forma fechada, usando redução de ordem ou funções especiais, pode-se mostrar que
onde
é a função erro.
Resposta
A solução geral é
ou, equivalentemente,