Determine se a sequência
an=nn+1
converge ou diverge. Justifique as respostas

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por:
an = nn+1
O objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico conforme n aumenta) ou diverge (não se aproxima de nenhum número fixo). Para isso, vamos usar conceitos básicos de limites de sequências.

Passo 2

Para verificar a convergência, precisamos calcular o limite da sequência quando n tende ao infinito. Em termos simples, queremos saber para qual valor a sequência está se aproximando à medida que n fica muito grande.
Matematicamente, isso é representado por:
limn to infty nn+1

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Podemos dividir o numerador e o denominador por n :
nn+1 = n/n(n+1)/n = 11 + 1n

Passo 4

Agora, observamos o que acontece com 1n quando n tende ao infinito. Como n fica muito grande, 1n fica cada vez menor, aproximando-se de 0.
Então,
limn to infty 11 + 1n = 11 + 0 = 1

Resposta

A sequência an = nn+1 converge para 1 quando n tende ao infinito.

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