Utilizando a técnica de substituição, calcule as integrais a seguir.
integral x sen(x^2) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x sin(x^2) dx usando a técnica de substituição. Essa técnica é muito útil em cálculo integral quando conseguimos simplificar a integral escolhendo uma nova variável. Para resolver essa integral, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observando a integral, notamos que o argumento da função seno é x^2. Vamos definir:
u = x^2
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir o diferencial dx.

Passo 3

Calculando a derivada de u:
dudx = 2x implies du = 2x , dx
Queremos expressar x , dx em termos de du, então rearranjamos:
x , dx = du2

Passo 4

Substituindo u e x , dx na integral original:
integral x sin(x^2) dx = integral sin(u) cdot du2 = 12 integral sin(u) , du

Passo 5

Agora, precisamos integrar sin(u). A integral de sin(u) é:
integral sin(u) , du = -cos(u) + C
Substituindo de volta na expressão:
12 integral sin(u) , du = 12 (-cos(u)) + C = -12 cos(u) + C

Passo 6

Lembrando que u = x^2, substituímos novamente para voltar à variável original:
-12 cos(x^2) + C

Resposta

A integral integral x sin(x^2) dx é igual a - dfrac12 cos(x^2) + C, onde C é a constante de integração.

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