Utilizando a técnica de substituição, calcule as integrais a seguir.
Passo 1
Vamos resolver a integral
usando a técnica de substituição. Essa técnica é muito útil em cálculo integral quando conseguimos simplificar a integral escolhendo uma nova variável. Para resolver essa integral, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observando a integral, notamos que o argumento da função seno é
. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir o diferencial
.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Queremos expressar
em termos de
, então rearranjamos:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
. A integral de
é:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos novamente para voltar à variável original:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.