Calcule a série de Maclaurin da função
Passo 1
O enunciado define a função por partes como
f(x)= O conteúdo é série de Maclaurin, e vamos precisar calcular as derivadas de f no ponto 0 para obter os coeficientes.
f(x)=
Passo 2
Para construir a série de Maclaurin, lembramos a definição:
[\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n.]
Então precisamos mostrar que cada derivada f^{(n)}(0) vale zero.
[\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n.]
Então precisamos mostrar que cada derivada f^{(n)}(0) vale zero.
Passo 3
Para x>0, aplicando a regra da cadeia várias vezes mostramos que
f{(n)}(x)=P_n\bigl(\tfrac1{x}\bigr),e{-1/x^2},
onde P_n é um polinômio em 1/x. Como e{-1/x2} tende a zero mais rápido que qualquer potência de x quando x→0^+, segue que
[\lim_{x\to0+}f{(n)}(x)=0.]
f{(n)}(x)=P_n\bigl(\tfrac1{x}\bigr),e{-1/x^2},
onde P_n é um polinômio em 1/x. Como e{-1/x2} tende a zero mais rápido que qualquer potência de x quando x→0^+, segue que
[\lim_{x\to0+}f{(n)}(x)=0.]
Passo 4
Como f é contínua e suave em 0, temos f{(n)}(0)=\lim_{x\to0+}f^{(n)}(x)=0 para todo n. Logo todos os coeficientes da série são zero.
Resposta
A série de Maclaurin de f é
, isto é, identicamente zero.