Calcule a série de Maclaurin da função
f(x)=re^-1x^2, se x>0 0, se x <= 0

Passo 1

O enunciado define a função por partes como
f(x)= e^-1/x^2,&x>00,&x<=0 O conteúdo é série de Maclaurin, e vamos precisar calcular as derivadas de f no ponto 0 para obter os coeficientes.

Passo 2

Para construir a série de Maclaurin, lembramos a definição:
[\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n.]
Então precisamos mostrar que cada derivada f^{(n)}(0) vale zero.

Passo 3

Para x>0, aplicando a regra da cadeia várias vezes mostramos que
f{(n)}(x)=P_n\bigl(\tfrac1{x}\bigr),e{-1/x^2},
onde P_n é um polinômio em 1/x. Como e{-1/x2} tende a zero mais rápido que qualquer potência de x quando x→0^+, segue que
[\lim_{x\to0+}f{(n)}(x)=0.]

Passo 4

Como f é contínua e suave em 0, temos f{(n)}(0)=\lim_{x\to0+}f^{(n)}(x)=0 para todo n. Logo todos os coeficientes da série são zero.

Resposta

A série de Maclaurin de f é sumn=0^infty 0,x^n, isto é, identicamente zero.

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