Encontre a solução dos sistemas não-homogêneos:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais não-homogêneas que você mandou. A equação é:
Aqui, estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar usar métodos de solução de sistemas lineares, como encontrar a matriz exponencial e a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é quando o termo não-homogêneo (a parte que não depende de $ t $) é igual a zero:
Para isso, precisamos encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz:
Passo 3
Calculamos os valores próprios resolvendo o determinante de $ A - \lambda I = 0 $:
Então, os valores próprios são $ \lambda_1 = 2 $ e $ \lambda_2 = 4 $.
Passo 4
Agora, encontramos os vetores próprios para cada valor próprio.
Para $ \lambda_1 = 2 $:
Isso nos dá $ v_2 $ livre e $ v_1 = -4v_2 $. Podemos escolher $ v_2 = 1 $, então $ v^{(1)} =
$.
Para $ \lambda_2 = 4 $:
Isso nos dá $ v_1 = 4v_2 $. Escolhendo $ v_2 = 1 $, temos $ v^{(2)} =
$.
Passo 5
Com os valores e vetores próprios, a solução geral da parte homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ x_p(t) $ para a equação completa. Como o termo não-homogêneo é $
$, vamos supor uma solução particular da forma:
Onde $ a, b, c, d $ são constantes a serem determinadas.
Passo 7
Derivamos $ x_p(t) $:
Substituímos $ x_p(t) $ e $ x_p’(t) $ na equação original:
Passo 8
Multiplicando as matrizes:
Simplificando:
Passo 9
Agora, igualamos os termos correspondentes:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Passo 10
Como essas igualdades devem valer para todo $ t $, os coeficientes de $ t $ e os termos constantes devem ser iguais separadamente.
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Passo 11
Resolvendo as equações:
Da segunda equação:
E então:
Da primeira equação:
E:
Passo 12
Assim, a solução particular é:
Passo 13
Finalmente, combinamos a solução homogênea $ x_h(t) $ com a solução particular $ x_p(t) $ para obter a solução geral:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.