Encontre a solução dos sistemas não-homogêneos:
x^prime=[ll2 & 8 0 & 4] x+[c2 16 t],

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais não-homogêneas que você mandou. A equação é:
x' = 2 & 8 0 & 4 x + 2 16 t
Aqui, estamos lidando com um sistema linear de equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar usar métodos de solução de sistemas lineares, como encontrar a matriz exponencial e a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é quando o termo não-homogêneo (a parte que não depende de $ t $) é igual a zero:
t
Para isso, precisamos encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz:
x' = 2 & 8 0 & 4 x

Passo 3

Calculamos os valores próprios resolvendo o determinante de $ A - \lambda I = 0 $:
A - lambda I = 0
Então, os valores próprios são $ \lambda_1 = 2 $ e $ \lambda_2 = 4 $.

Passo 4

Agora, encontramos os vetores próprios para cada valor próprio.
Para $ \lambda_1 = 2 $:
lambda1 = 2
Isso nos dá $ v_2 $ livre e $ v_1 = -4v_2 $. Podemos escolher $ v_2 = 1 $, então $ v^{(1)} = (A - 2I)v = 0 Rightarrow 0 & 8 0 & 2 v1 v2 = 0 0 $.
Para $ \lambda_2 = 4 $:
v2
Isso nos dá $ v_1 = 4v_2 $. Escolhendo $ v_2 = 1 $, temos $ v^{(2)} = v1 = -4v2 $.

Passo 5

Com os valores e vetores próprios, a solução geral da parte homogênea é:
xh(t) = C1 e^2t -4 1 + C2 e^4t 4 1
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ x_p(t) $ para a equação completa. Como o termo não-homogêneo é $ xp(t) $, vamos supor uma solução particular da forma:
2 16 t
Onde $ a, b, c, d $ são constantes a serem determinadas.

Passo 7

Derivamos $ x_p(t) $:
xp(t)
Substituímos $ x_p(t) $ e $ x_p’(t) $ na equação original:
xp'(t) = a c

Passo 8

Multiplicando as matrizes:
a c = 2(a t + b) + 8(c t + d) 0(a t + b) + 4(c t + d) + 2 16 t
Simplificando:
a c = 2a t + 2b + 8c t + 8d + 2 4c t + 4d + 16 t

Passo 9

Agora, igualamos os termos correspondentes:
Para a primeira equação:
a = (2a + 8c) t + (2b + 8d + 2)
Para a segunda equação:
c = (4c + 16) t + 4d

Passo 10

Como essas igualdades devem valer para todo $ t $, os coeficientes de $ t $ e os termos constantes devem ser iguais separadamente.
Para a primeira equação:
t
Para a segunda equação:
t

Passo 11

Resolvendo as equações:
Da segunda equação:
4c + 16 = 0 Rightarrow c = -4
E então:
4d = c Rightarrow 4d = -4 Rightarrow d = -1
Da primeira equação:
2a + 8c = 0 Rightarrow 2a + 8(-4) = 0 Rightarrow 2a - 32 = 0 Rightarrow a = 16
E:
2b + 8d + 2 = a Rightarrow 2b + 8(-1) + 2 = 16 Rightarrow 2b - 8 + 2 = 16 Rightarrow 2b - 6 = 16 Rightarrow 2b = 22 Rightarrow b = 11

Passo 12

Assim, a solução particular é:
xp(t) = 16 t + 11 -4 t - 1

Passo 13

Finalmente, combinamos a solução homogênea $ x_h(t) $ com a solução particular $ x_p(t) $ para obter a solução geral:
xh(t)

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = C1 e^2t -4 1 + C2 e^4t 4 1 + 16 t + 11 -4 t - 1
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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