Encontre a solução dos sistemas não-homogêneos:
x^prime=[ll-1 & 1 -2 & 1] x+[lt 0],

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que não é homogêneo. A gente vai trabalhar com matrizes e vetores aqui. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral de sistemas lineares e também como achar uma solução particular para a parte não homogênea. Então, vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte homogênea do sistema, que é quando a parte não homogênea é zero. Nosso sistema homogêneo fica assim:
x' = -1 & 1 -2 & 1 x
Para resolver isso, precisamos encontrar os autovalores (λ) da matriz. Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante:
det( -1 - lambda & 1 -2 & 1 - lambda ) = 0

Passo 3

Vamos calcular esse determinante:
(-1 - lambda)(1 - lambda) - (1)(-2) = 0
(-1)(1 - lambda) - lambda(1 - lambda) + 2 = 0
-1 + lambda - lambda + lambda^2 + 2 = 0
lambda^2 + 1 = 0
Então, os autovalores são:
lambda = pm i

Passo 4

Agora que temos os autovalores imaginários, sabemos que a solução geral da parte homogênea será uma combinação de funções seno e cosseno. A forma geral é:
xh(t) = e^at ( C1 cos(bt) + C2 sin(bt) )
Onde $ a = Re(\lambda) = 0 $ e $ b = Im(\lambda) = 1 $. Assim, a solução homogênea fica:
a = Re(lambda) = 0

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ x_p(t) $) para a parte não homogênea do sistema:
xp(t)
Como o termo não homogêneo é $ x' = -1 & 1 -2 & 1 x + t 0 $, tentamos uma solução particular da forma $ x_p(t) = t 0 $.
Derivando $ x_p(t) $:
xp(t) = At + B Ct + D
Substituindo na equação original:
xp(t)
Calculando o produto:
xp'(t) = A C
Igualando os termos:
Para a primeira equação:
A C = -1 & 1 -2 & 1 At + B Ct + D + t 0
-1(At + B) + 1(Ct + D) -2(At + B) + 1(Ct + D) + t 0 = (-A + C)t + (-B + D) (-2A + C)t + (-2B + D) + t 0
Para a segunda equação:
A = (-A + C) + 1
2A - C = 1
C = (-2A + C)
Substituindo $ A = 0 $ na primeira equação:
-2A = 0
A = 0
Agora, para os termos constantes:
A = 0
0 - C = 1
Não há outras restrições, então podemos escolher $ B = 0 $, então $ D = 0 $.
Então, a solução particular é:
C = -1

Resposta

A solução geral do sistema não homogêneo é:
x(t) = C1 1 1 cos(t) + C2 1 -2 sin(t) + 0 -t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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