Encontre a solução dos sistemas não-homogêneos:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que não é homogêneo. A gente vai trabalhar com matrizes e vetores aqui. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral de sistemas lineares e também como achar uma solução particular para a parte não homogênea. Então, vamos começar!
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte homogênea do sistema, que é quando a parte não homogênea é zero. Nosso sistema homogêneo fica assim:
Para resolver isso, precisamos encontrar os autovalores (λ) da matriz. Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante:
Passo 3
Vamos calcular esse determinante:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Agora que temos os autovalores imaginários, sabemos que a solução geral da parte homogênea será uma combinação de funções seno e cosseno. A forma geral é:
Onde $ a = Re(\lambda) = 0 $ e $ b = Im(\lambda) = 1 $. Assim, a solução homogênea fica:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ x_p(t) $) para a parte não homogênea do sistema:
Como o termo não homogêneo é $
$, tentamos uma solução particular da forma $ x_p(t) =
$.
Derivando $ x_p(t) $:
Substituindo na equação original:
Calculando o produto:
Igualando os termos:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Substituindo $ A = 0 $ na primeira equação:
Agora, para os termos constantes:
Não há outras restrições, então podemos escolher $ B = 0 $, então $ D = 0 $.
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral do sistema não homogêneo é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.