Calcule
integral 11+x^7 d x
como uma série de potências.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 11+x^7,dx
como série de potências.
O conteúdo necessário é a expansão em série geométrica
11+u = sumn=0^infty(-1)^nu^n, |u|<1,
e a integração termo a termo de uma série de potências.

Passo 2

Fazemos u=x^7. Para |x|<1 podemos escrever
11+x^7 = sumn=0^infty(-1)^nl(x^7r)^n = sumn=0^infty(-1)^nx^7n

Passo 3

Integramos termo a termo a série obtida:
integral 11+x^7,dx = integral sumn=0^infty(-1)^nx^7n,dx = sumn=0^infty(-1)^nintegral x^7n,dx

Passo 4

Para cada n vale
integral x^7n,dx = x^7n+17n+1,
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integral 11+x^7,dx = sumn=0^infty(-1)^n,x^7n+17n+1 + C,
válido para |x|<1.

Resposta

integral 11+x^7,dx = sumn=0^infty(-1)^n,x^7n+17n+1 + C, |x|<1

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