Verificar se a equação é homogênea, caso seja, resolver.
\left(x^{3}+2 x y\right) d x+x y d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(x^3 + 2x y)\,dx + x y\,dy = 0
e pede para verificar se ela é homogênea; caso seja, usar o método de substituição y=ux para resolver.

Passo 2

Uma equação diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é homogênea de grau n se, para todo real t,
M(t x, t y) = t^n M(x,y) \quad\text{e}\quad N(t x, t y) = t^n N(x,y)
com o mesmo n.

Passo 3

No nosso caso definimos
M(x,y) = x^3 + 2x y, \quad N(x,y) = x y.
Aplicando a dilatação em M:
M(t x, t y) = (t x)^3 + 2\,(t x)(t y) = t^3 x^3 + 2\,t^2 x y,
não há um único fator t^n que saia em evidência (aparecem t^3 e t^2). Já
N(t x, t y) = (t x)(t y) = t^2 x y
é homogêneo de grau 2. Como M e N não têm o mesmo grau, a equação não é homogênea.

Resposta

A equação não é homogênea, logo não podemos resolver pelo método de variáveis homogêneas.

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