Calcule a série de Taylor da função f(x)=e^-x em torno de x=1.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=e^-x em torno do ponto a=1.
O conteúdo necessário é a fórmula da série de Taylor centrada em a:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(a)n!(x-a)^n

Passo 2

Calculamos as derivadas de f e as avaliamos em x=1.
Para todo n>=0:
f^(n)(x)=(-1)^ne^-x Longrightarrow f^(n)(1)=(-1)^ne^-1

Passo 3

Substituímos na fórmula da série de Taylor com a=1:
f(x) =sumn=0^inftyf^(n)(1)n!(x-1)^n =sumn=0^infty(-1)^ne^-1n!(x-1)^n

Passo 4

Podemos ainda colocar e^-1 em evidência:
f(x)=e^-1sumn=0^infty(-1)^nn!(x-1)^n

Resposta

e^-x =e^-1sumn=0^infty(-1)^nn!(x-1)^n

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