Use o teste da razão para estudar a convergência das séries sumn=1^infty 2^nn! e sumn=1^infty n^nn!.

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da razão e estudar a convergência de duas séries:
sumn=1^infty2^nn! e sumn=1^inftyn^nn!.
O conteúdo é o teste da razão para séries, que envolve calcular o limite da razão dos termos sucessivos.

Passo 2

O teste da razão afirma que, para uma série sum an, definindo
L = limntoinfty|an+1an|,
se L<1 a série converge absolutamente, se L>1 a série diverge, e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Para a série sumn=1^infty2^nn! temos an=2^nn!. Então
an+1an = 2^,n+1/(n+1)!2^n/n! = 2n+1
Tomando o limite,
L1=limntoinfty2n+1=0<1,
logo essa série converge absolutamente.

Passo 4

Para a série sumn=1^inftyn^nn! temos bn=n^nn!. Então
bn+1bn = (n+1)^,n+1/(n+1)!n^n/n! = (n+1)^,n+1(n+1),n^n = l(n+1nr)^n
Como
L2=limntoinftyl(1+1nr)^n=e>1,
essa série diverge pelo teste da razão.

Resposta

A série sumn=1^infty2^nn! converge e a série sumn=1^inftyn^nn! diverge.

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