As seguintes equações tem a forma d yd t=f(y). Em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos criticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
d yd t=y(y-1)(y-2), y0 >= 0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
dydt=f(y)=y(y-1)(y-2),
com condição inicial y0>=0. Precisamos:
1. Esboçar o gráfico de f(y) versus y.
2. Encontrar os pontos de equilíbrio (raízes de f).
3. Classificar cada equilíbrio como estável ou instável.
4. Desenhar a reta de fase.
5. Esboçar soluções no plano t - y para várias condições iniciais.

Passo 2

Determinar os pontos de equilíbrio resolvendo
y(y-1)(y-2)=0
Logo os equilíbrios são
y=0, y=1, y=2

Passo 3

Analisar o sinal de f(y) em cada intervalo e usar isso para decidir estabilidade:
  • Para y>2: y>0, (y-1)>0, (y-2)>0 implies f(y)>0.
  • Para 1<y<2: y>0, (y-1)>0, (y-2)<0 implies f(y)<0.
  • Para 0<y<1: y>0, (y-1)<0, (y-2)<0 implies f(y)>0.
Um equilíbrio é estável se as setas da reta de fase convergirem para ele (sinal de f muda de + para -), e instável se divergirem (sinal muda de - para +) ou não muda de sinal.
  • Em y=0: à direita f>0 to setas para cima; não há seta vindo de baixo (ignoramos y<0). Logo é instável.
  • Em y=1: à esquerda f>0 to setas para cima; à direita f<0 to setas para baixo. Logo assintoticamente estável.
  • Em y=2: à esquerda f<0 to setas para baixo; à direita f>0 to setas para cima. Logo instável.

Passo 4

Reta de fase em y>=0, marcando 0,1,2 e setas:
  • No intervalo (0,1): f>0 to setas para cima.
  • Em (1,2): f<0 to setas para baixo.
  • Em (2,infty): f>0 to setas para cima.

Passo 5

Esboço de soluções no plano t - y para y0>=0:
  • Se 0<y0<1, então dy/dt>0 e y(t) cresce até se aproximar de 1 quando ttoinfty.
  • Se 1<y0<2, então dy/dt<0 e y(t) decresce até se aproximar de 1 assintoticamente.
  • Se y0>2, então dy/dt>0 e y(t) cresce sem bound.
  • Para y0=0,1,2, a solução é constante.

Resposta

Pontos de equilíbrio: y=0,1,2.
Classificação:
  • y=0: instável.
  • y=1: assintoticamente estável.
  • y=2: instável.
    Reta de fase: setas para cima em (0,1) e em (2,infty), para baixo em (1,2).
    Soluções no plano t - y: curvas que partem de y0 e convergem a 1 se 0<y0<2, divergem para infty se y0>2, e são constantes em y=0,1,2.

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