As seguintes equações tem a forma
. Em cada problema, esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos criticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
com condição inicial
. Precisamos:
. Esboçar o gráfico de
versus
.
. Encontrar os pontos de equilíbrio (raízes de
).
. Classificar cada equilíbrio como estável ou instável.
. Desenhar a reta de fase.
. Esboçar soluções no plano
para várias condições iniciais.
Passo 2
Determinar os pontos de equilíbrio resolvendo
Logo os equilíbrios são
Passo 3
Analisar o sinal de
em cada intervalo e usar isso para decidir estabilidade:
- Para
: , , . - Para
: , , . - Para
: , , .
Um equilíbrio é estável se as setas da reta de fase convergirem para ele (sinal de
muda de
para
), e instável se divergirem (sinal muda de
para
) ou não muda de sinal.
- Em
: à direita setas para cima; não há seta vindo de baixo (ignoramos ). Logo é instável. - Em
: à esquerda setas para cima; à direita setas para baixo. Logo assintoticamente estável. - Em
: à esquerda setas para baixo; à direita setas para cima. Logo instável.
Passo 4
Reta de fase em
, marcando
e setas:
- No intervalo
: setas para cima. - Em
: setas para baixo. - Em
: setas para cima.
Passo 5
Esboço de soluções no plano
para
:
- Se
, então e cresce até se aproximar de quando . - Se
, então e decresce até se aproximar de assintoticamente. - Se
, então e cresce sem bound. - Para
, a solução é constante.
Resposta
Pontos de equilíbrio:
.
Classificação:
Classificação:
-
: instável. -
: assintoticamente estável. -
: instável.
Reta de fase: setas para cima eme em , para baixo em .
Soluções no plano: curvas que partem de e convergem a se , divergem para se , e são constantes em .