Encontre o intervalo e o raio de convergência da série de potências
.
Passo 1
O enunciado dá a série de potências centrada em
:
e pede o raio de convergência
e o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da razão para séries de potências.
Passo 2
Denotando
aplicamos o teste da razão:
A série converge se
L<1 .
Passo 3
Da condição
L<1 obtemos
Logo o raio de convergência é
e a condição interna é
ou seja, a convergência ocorre pelo menos em
(-1,5) .
Passo 4
Precisamos agora testar os extremos
x=-1 e
x=5 .
Passo 5
Em
x=-1 temos
A série
sum(-1)^n/(n+1) é alternada, seus termos em valor absoluto decrescem para zero, logo converge (teste de Leibniz).
Passo 6
Em
x=5 temos
A série
sum 1/(n+1) diverge por comparação com a série harmônica.
Resposta
O raio de convergência é
R=3 , e o intervalo de convergência é