Encontre o intervalo e o raio de convergência da série de potências sumn=0^infty (x-2)^n(n+1) 3^n.

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em x0=2:
sumn=0^infty(x-2)^n(n+1),3^n
e pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da razão para séries de potências.

Passo 2

Denotando
an = (x-2)^n(n+1),3^n,
aplicamos o teste da razão:
L ;=;limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|(x-2)^n+1(n+2),3^n+1;(n+1),3^n(x-2)^n| =limntoinfty|x-2|3,n+1n+2 =|x-2|3
A série converge se L<1.

Passo 3

Da condição L<1 obtemos
|x-2|3<1 Longrightarrow |x-2|<3
Logo o raio de convergência é
R=3
e a condição interna é
-3<x-2<3 Longrightarrow -1<x<5,
ou seja, a convergência ocorre pelo menos em (-1,5).

Passo 4

Precisamos agora testar os extremos x=-1 e x=5.

Passo 5

Em x=-1 temos
(x-2)^n=( -3)^n Longrightarrow an = (-3)^n(n+1),3^n = (-1)^nn+1
A série sum(-1)^n/(n+1) é alternada, seus termos em valor absoluto decrescem para zero, logo converge (teste de Leibniz).

Passo 6

Em x=5 temos
(x-2)^n = 3^n Longrightarrow an = 3^n(n+1),3^n = 1n+1
A série sum 1/(n+1) diverge por comparação com a série harmônica.

Resposta

O raio de convergência é R=3, e o intervalo de convergência é
[-1,5)

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