Calcule, no SI, o que se pede a seguir:
Qual é a mudança na pressão do ar em pascais entre os piso e teto de uma sala com paredes de 2,5 metros de altura? Admita condições isotérmicas.

Passo 1

O enunciado pede a variação de pressão entre o piso e o teto de altura h=2{,}5\\ \text{m} de uma sala, sob condições isotérmicas. O conteúdo usado será a equação de equilíbrio hidrostático para um gás e a equação de estado do gás ideal.

Passo 2

Em equilíbrio hidrostático temos
\frac{dp}{dz}=-\rho\,g
e, como a temperatura é constante, a densidade obedece à equação de estado do gás ideal
\rho=\frac{p\,M}{R\,T}\,,
onde M é a massa molar do ar, R a constante universal dos gases e T a temperatura absoluta. Substituindo em dp/dz e separando variáveis,
\frac{dp}{p}=-\frac{M\,g}{R\,T}\,dz.
Integrando de z=0 (piso) a z=h (teto), e denotando p_0=p(0), obtém-se
p(h)=p_0\exp\!\bigl(-\tfrac{Mgh}{RT}\bigr)
e, portanto, a variação de pressão
\Delta p=p_0-p(h)=p_0\Bigl[1-\exp\!\bigl(-\tfrac{Mgh}{RT}\bigr)\Bigr].

Passo 3

Agora, numericamente, assumimos valores típicos: p_0=1{,}013\times10^5\\ \text{Pa}, M=0{,}029\\ \text{kg/mol}, g=9{,}8\\ \text{m/s}^2, R=8{,}31\\ \text{J/(mol\cdotK)} e T=293\\ \text{K}. Então
\frac{Mgh}{R\,T} =\frac{0{,}029\cdot9{,}8\cdot2{,}5}{8{,}31\cdot293} \approx2{,}92\times10^{-4},
logo, para x\ll1, \exp(-x)\approx1-x e
\Delta p\approx p_0\;\frac{Mgh}{R\,T} \approx1{,}013\times10^5\cdot2{,}92\times10^{-4} \approx29{,}6\\ \text{Pa}.

Resposta

A diferença de pressão entre piso e teto vale aproximadamente 3,0\times10^{1}\\ \text{Pa}.

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