Calcule
e esboce o gráfico de
juntamente com o vetor tangente
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a derivada de uma função vetorial
no ponto
e também para esboçar o gráfico dessa função junto com o vetor tangente nesse ponto. Estamos trabalhando com cálculo de vetores, especificamente derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções vetoriais e entender o que representa o vetor tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função vetorial dada:
Aqui,
descreve uma curva no plano
, onde a componente
é
e a componente
é
. Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função, que nos dará o vetor tangente à curva em qualquer ponto
.
Passo 3
A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada uma de suas componentes em relação a
. Então, vamos calcular
:
Calculando as derivadas:
Portanto,
Passo 4
Agora, queremos encontrar o vetor tangente no ponto
. Basta substituir
na expressão de
:
Simplificando as expressões exponenciais:
Então,
Resposta
A derivada da função vetorial no ponto
é:
Esse vetor representa a direção e a velocidade com que a curva
está mudando naquele ponto específico.