Calcule sigma^prime(t0) e esboce o gráfico de sigma(t) juntamente com o vetor tangente sigma^prime(t0) :
sigma(t)=e^-t i+e^2 t j ; t0=ln (2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a derivada de uma função vetorial sigma(t) no ponto t0 = ln(2) e também para esboçar o gráfico dessa função junto com o vetor tangente nesse ponto. Estamos trabalhando com cálculo de vetores, especificamente derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções vetoriais e entender o que representa o vetor tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função vetorial dada:
sigma(t) = e^-t i + e^2 t j
Aqui, sigma(t) descreve uma curva no plano xy, onde a componente x é e^-t e a componente y é e^2t. Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função, que nos dará o vetor tangente à curva em qualquer ponto t.

Passo 3

A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada uma de suas componentes em relação a t. Então, vamos calcular sigma'(t):
sigma'(t) = ddt(e^-t) i + ddt(e^2t) j
Calculando as derivadas:
ddt(e^-t) = -e^-t
ddt(e^2t) = 2e^2t
Portanto,
sigma'(t) = -e^-t i + 2e^2t j

Passo 4

Agora, queremos encontrar o vetor tangente no ponto t0 = ln(2). Basta substituir t0 na expressão de sigma'(t):
sigma'(ln(2)) = -e^-ln(2) i + 2e^2ln(2) j
Simplificando as expressões exponenciais:
e^-ln(2) = 1e^ln(2) = 12
e^2ln(2) = (e^ln(2))^2 = 2^2 = 4
Então,
sigma'(ln(2)) = -12 i + 2 times 4 j = -12 i + 8 j

Resposta

A derivada da função vetorial no ponto t0 = ln(2) é:
sigma'(ln(2)) = -12 i + 8 j
Esse vetor representa a direção e a velocidade com que a curva sigma(t) está mudando naquele ponto específico.

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