Questão: (10 pontos) Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície definida por $ z = f(x, y) = \sqrt{(x-1)^{2} + 3y^{2} - 2} $ e precisamos encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto $ P = (1, 1, f(1,1)) $. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a determinação de derivadas parciais para encontrar a inclinação do plano tangente.
Passo 2
Vamos começar calculando o valor de $ f(1,1) $ para determinar as coordenadas completas do ponto $ P $.
Então, o ponto $ P $ é $ (1, 1, 1) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, que são $ f_x $ e $ f_y $. Essas derivadas nos darão a inclinação do plano tangente nas direções $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ P = (1, 1) $:
Para $ f_x(1, 1) $:
Para $ f_y(1, 1) $:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos agora escrever a equação do plano tangente na forma:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Simplificando a equação:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto $ P = (1, 1, 1) $ é: