2^a Questão: (10 pontos) Determine a equação do plano tangente à superfície z=f(x, y)= raiz(x-1)^2+3 y^2-2 no ponto P=(1,1, f(1,1)).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície definida por $ z = f(x, y) = \sqrt{(x-1)^{2} + 3y^{2} - 2} $ e precisamos encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto $ P = (1, 1, f(1,1)) $. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a determinação de derivadas parciais para encontrar a inclinação do plano tangente.

Passo 2

Vamos começar calculando o valor de $ f(1,1) $ para determinar as coordenadas completas do ponto $ P $.
f(1,1)
Então, o ponto $ P $ é $ (1, 1, 1) $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, que são $ f_x $ e $ f_y $. Essas derivadas nos darão a inclinação do plano tangente nas direções $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ P = (1, 1) $:
Para $ f_x(1, 1) $:
P = (1, 1)
Para $ f_y(1, 1) $:
fx(1, 1)

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos agora escrever a equação do plano tangente na forma:
z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores que temos:
z - 1 = 0 cdot (x - 1) + 3 cdot (y - 1)

Passo 6

Simplificando a equação:
z - 1 = 3(y - 1) z - 1 = 3y - 3 z = 3y - 2

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto $ P = (1, 1, 1) $ é:
P = (1, 1, 1)

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