Escreva as seguintes identidades em notação indicial
\nabla \times(\mathbf{A} \times \mathbf{B})=(\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A}+(\nabla \cdot \mathbf{B}) \mathbf{A}- (\nabla \cdot \mathbf{A}) \mathbf{B}-(\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B}

Passo 1

O enunciado pede para escrever a identidade vetorial
\nabla \times(\mathbf{A} \times \mathbf{B})=(\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{A}+(\nabla \cdot \mathbf{B}) \mathbf{A}- (\nabla \cdot \mathbf{A}) \mathbf{B}-(\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B}
em notação indicial. Ou seja, expressar cada componente da igualdade acima usando índices (como i,j,k), a convenção de soma de Einstein e símbolos como \varepsilon_{ijk} e \delta_{ij}. As informações dadas são somente a própria identidade vetorial que deve ser convertida.

Passo 2

Vou fixar as definições e convenções que vou usar (essas são as “fórmulas básicas” em notação indicial — lê com calma que é só ajeitar símbolos):
  • Convenção de soma de Einstein: índices repetidos são somados implicitamente (por exemplo, a_i b_i significa \sum_i a_i b_i).
  • Símbolo de Levi-Civita: \varepsilon_{ijk} usado para componentes do produto vetorial.
  • Delta de Kronecker: \delta_{ij} que atua como identidade nos índices.
  • Derivada parcial: \partial_j significa \dfrac{\partial}{\partial x_j}.
  • Definições componentes: (\nabla \times \mathbf{V})_i = \varepsilon_{ijk}\,\partial_j V_k,
(\mathbf{A}\times\mathbf{B})_k = \varepsilon_{klm}\,A_l B_m.
Vocês vão ver esses símbolos aparecerem e, se repetir um índice, está sendo somado.

Passo 3

Começo escrevendo o lado esquerdo da identidade na forma de componentes: a i-ésima componente de \nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) é
(\nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B}))_i = \varepsilon_{ijk}\,\partial_j(\mathbf{A}\times\mathbf{B})_k.

Passo 4

Substituo a fórmula do produto vetorial para (\mathbf{A}\times\mathbf{B})_k:
(\nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B}))_i = \varepsilon_{ijk}\,\partial_j\big(\varepsilon_{klm}\,A_l B_m\big).

Passo 5

Agora uso a identidade padrão para o produto de dois Levi-Civita contra um índice repetido (aqui se soma sobre k):
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm} = \delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}.
Aplicando isso dentro da expressão obtemos
(\nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B}))_i = (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\,\partial_j(A_l B_m).

Passo 6

As deltas simplificam índices: \delta_{il}\delta_{jm}\partial_j(A_l B_m)=\partial_j(A_i B_j) e \delta_{im}\delta_{jl}\partial_j(A_l B_m)=\partial_j(A_j B_i). Assim
(\nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B}))_i = \partial_j(A_i B_j) - \partial_j(A_j B_i).

Passo 7

Aplico a regra do produto nas derivadas parciais (produto das funções A e B):
\partial_j(A_i B_j) = (\partial_j A_i)\,B_j + A_i\,(\partial_j B_j),
\partial_j(A_j B_i) = (\partial_j A_j)\,B_i + A_j\,(\partial_j B_i).

Passo 8

Substituindo essas expressões em \partial_j(A_i B_j) - \partial_j(A_j B_i) obtemos
(\nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B}))_i = (\partial_j A_i)\,B_j + A_i\,(\partial_j B_j) - (\partial_j A_j)\,B_i - A_j\,(\partial_j B_i).

Passo 9

Agora identifico cada termo com a notação vetorial padrão escrita em componentes:
  • (\partial_j A_i)\,B_j = B_j\,\partial_j A_i corresponde a (\mathbf{B}\cdot\nabla)A_i.
  • A_i\,(\partial_j B_j) = (\partial_j B_j)\,A_i corresponde a (\nabla\cdot\mathbf{B})A_i.
  • (\partial_j A_j)\,B_i = (\nabla\cdot\mathbf{A})B_i.
  • A_j\,(\partial_j B_i) = (\mathbf{A}\cdot\nabla)B_i.
Portanto os termos coletados dão exatamente os quatro termos do lado direito da identidade vetorial original, por componente i.

Resposta

(\nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B}))_i = B_j\,\partial_j A_i + (\partial_j B_j)\,A_i - (\partial_j A_j)\,B_i - A_j\,\partial_j B_i

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