Escreva as seguintes identidades em notação indicial
Passo 1
O enunciado pede para escrever a identidade vetorial
em notação indicial. Ou seja, expressar cada componente da igualdade acima usando índices (como
), a convenção de soma de Einstein e símbolos como
e
. As informações dadas são somente a própria identidade vetorial que deve ser convertida.
Passo 2
Vou fixar as definições e convenções que vou usar (essas são as “fórmulas básicas” em notação indicial — lê com calma que é só ajeitar símbolos):
- Convenção de soma de Einstein: índices repetidos são somados implicitamente (por exemplo,
significa ). - Símbolo de Levi-Civita:
usado para componentes do produto vetorial. - Delta de Kronecker:
que atua como identidade nos índices. - Derivada parcial:
significa . - Definições componentes:
Vocês vão ver esses símbolos aparecerem e, se repetir um índice, está sendo somado.
Passo 3
Começo escrevendo o lado esquerdo da identidade na forma de componentes: a
-ésima componente de
é
Passo 4
Substituo a fórmula do produto vetorial para
:
Passo 5
Agora uso a identidade padrão para o produto de dois Levi-Civita contra um índice repetido (aqui se soma sobre
):
Aplicando isso dentro da expressão obtemos
Passo 6
As deltas simplificam índices:
e
. Assim
Passo 7
Aplico a regra do produto nas derivadas parciais (produto das funções
e
):
Passo 8
Substituindo essas expressões em
obtemos
Passo 9
Agora identifico cada termo com a notação vetorial padrão escrita em componentes:
-
corresponde a . -
corresponde a . -
. -
.
Portanto os termos coletados dão exatamente os quatro termos do lado direito da identidade vetorial original, por componente
.