Calcule o simétrico de cada elemento de D3 e identifique cada elemento de D3 com a permutação correspondente de S3.

Passo 1

O enunciado pede, para o grupo diédrico D3 (simetrias de um triângulo), (a) calcular o simétrico (inverso) de cada elemento e (b) identificar cada elemento com a permutação correspondente em S3. Vamos usar teoria de grupos (inverso e relações em D3) e a isomorfia natural D3simeq S3.

Passo 2

Em D3 tomamos
;e = identidade,
;r = rotação de 120^circ no sentido anti-horário,
;r^2 = rotação de 240^circ,
;s = reflexão num eixo que fixa o vértice 1 (e troca 2 e 3).
As relações são
r^3=e, s^2=e, s,r = r^-1s = r^2s

Passo 3

Usamos (ab)^-1=b^-1a^-1 e r^-1=r^2, s^-1=s:
e^-1=e r^-1=r^2 (r^2)^-1=r s^-1=s (rs)^-1=s^-1r^-1=s,r^2 =r s (r^2s)^-1=s^-1(r^2)^-1=s,r =r^2s

Passo 4

Labeling vértices por 1,2,3, interpretamos cada simetria como permutação:
  • e = identidade = ().
  • r envia 1to2, 2to3, 3to1, ou seja (1,2,3).
  • r^2 = (1,3,2).
  • s fixa 1 e troca 2 e 3: (2,3).
  • r s = primeiro s depois r = (1,2).
  • r^2s = (1,3).

Resposta

e^-1=e, permutação () ;r^-1=r^2, permutação (1,2,3) ;(r^2)^-1=r, permutação (1,3,2) ;s^-1=s, permutação (2,3) ;(rs)^-1=rs, permutação (1,2) ;(r^2s)^-1=r^2s, permutação (1,3)

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