- Sob quais condições vale
?
?
Passo 1
O enunciado pergunta, para uma matriz quadrada
de ordem
, em que situações vale
O conteúdo envolvido é a propriedade de homogeneidade do determinante: se multiplicamos cada linha (ou coluna) de
por um escalar
, o determinante é multiplicado por
em cada uma das
linhas, resultando em
.
Passo 2
Recordando a propriedade de escalares no determinante, para qualquer escalar
e qualquer matriz quadrada
de ordem
vale
Passo 3
Aplicando essa propriedade ao caso
, obtemos
Passo 4
Agora basta analisar o sinal de
:
- Se
é par, então , logo - Se
é ímpar, então , logo
Passo 5
Observe que, no caso
, ambas as igualdades ficam triviais (
e
). O ponto essencial são as duas situações não degeneradas baseadas na paridade de
.