1. Sob quais condições vale det(-A)=det(A) ? E det(-A)=-det(A) ?

Passo 1

O enunciado pergunta, para uma matriz quadrada A de ordem n, em que situações vale
det(-A)=det(A) e det(-A)=-det(A)
O conteúdo envolvido é a propriedade de homogeneidade do determinante: se multiplicamos cada linha (ou coluna) de A por um escalar c, o determinante é multiplicado por c em cada uma das n linhas, resultando em c^n.

Passo 2

Recordando a propriedade de escalares no determinante, para qualquer escalar c e qualquer matriz quadrada A de ordem n vale
det(cA)=c^n,det(A)

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao caso c=-1, obtemos
det(-A)=(-1)^n,det(A)

Passo 4

Agora basta analisar o sinal de (-1)^n:
  • Se n é par, então (-1)^n=1, logo det(-A)=1cdotdet(A)=det(A)
  • Se n é ímpar, então (-1)^n=-1, logo det(-A)=-1cdotdet(A)=-det(A)

Passo 5

Observe que, no caso det(A)=0, ambas as igualdades ficam triviais ( 0=0 e 0=-0). O ponto essencial são as duas situações não degeneradas baseadas na paridade de n.

Resposta

det(-A)=det(A) exatamente quando a ordem n de A é par (ou trivialmente se det(A)=0).
det(-A)=-det(A) exatamente quando n é ímpar (ou trivialmente se det(A)=0).

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