Determine x in S5 solução da equação a^2 x b^-1=c, sendo
a=(ccccc 1 & 2 & 3 & 4 & 5 4 & 5 & 1 & 2 & 3 ), b=(ccccc 1 & 2 & 3 & 4 & 5 1 & 2 & 4 & 3 & 5 ) e c=(ccccc 1 & 2 & 3 & 4 & 5 5 & 4 & 3 & 1 & 2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de permutação juntos! A questão pede para encontrar x no grupo das permutações S5 que satisfaz a equação a^2 x b^-1 = c . Vamos precisar usar conceitos de álgebra de grupos, especialmente sobre permutações e suas operações. Para resolver isso, vamos precisar calcular a inversa das permutações e multiplicar as permutações dadas seguindo a ordem correta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as permutações que temos:
a = (ccccc 1 & 2 & 3 & 4 & 5 4 & 5 & 1 & 2 & 3 ), b = (ccccc 1 & 2 & 3 & 4 & 5 1 & 2 & 4 & 3 & 5 ), c = (ccccc 1 & 2 & 3 & 4 & 5 5 & 4 & 3 & 1 & 2 )
Vamos converter essas permutações para a notação cíclica, que facilita as operações:
  • a = (1,4,2,5,3)
  • b = (3,4)
  • c = (1,5,2,4)

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação a^2 x b^-1 = c para resolver x :
x = a^-2 cdot c cdot b
Para isso, precisamos encontrar a^-1 e b^-1 .

Passo 4

Vamos encontrar a^-1 . Como a = (1,4,2,5,3) , sua inversa é simplesmente o ciclo na direção oposta:
a^-1 = (3,5,2,4,1)
Então, a^-2 = (a^-1)^2 . Vamos calcular:
a^-2 = (3,5,2,4,1) cdot (3,5,2,4,1) = (3,2,1,5,4)
Agora, precisamos multiplicar a^-2 , c e b :
x = a^-2 cdot c cdot b

Passo 5

Vamos multiplicar as permutações passo a passo.
Primeiro, multiplicamos c e b :
c cdot b = (1,5,2,4) cdot (3,4)
Aplicando b primeiro e depois c :
  • 1 vai para 5 (pois b não muda 1)
  • 2 vai para 4 (pois b não muda 2, e c envia 2 para 4)
  • 3 vai para 4 via b , depois c envia 4 para 1
  • 4 vai para 3 via b , depois c envia 3 para 3
  • 5 vai para 2 via c
Então, c cdot b = (1,5,2,4)(3,1) = (1,5,2,4,3)
Agora, multiplicamos a^-2 com esse resultado:
x = a^-2 cdot c cdot b = (3,2,1,5,4) cdot (1,5,2,4,3)
Aplicando c cdot b primeiro e depois a^-2 :
  • 1 vai para 5 via c cdot b , depois 5 vai para 4 via a^-2
  • 5 vai para 2 via c cdot b , depois 2 vai para 1 via a^-2
  • 2 vai para 4 via c cdot b , depois 4 vai para 3 via a^-2
  • 4 vai para 3 via c cdot b , depois 3 vai para 2 via a^-2
  • 3 vai para 1 via c cdot b , depois 1 vai para 5 via a^-2
Então, x = (1,4,3,2,5)

Resposta

A solução da equação é x = (ccccc1 & 2 & 3 & 4 & 5 4 & 3 & 2 & 5 & 1) .

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