Determine
solução da equação
, sendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de permutação juntos! A questão pede para encontrar
x no grupo das permutações
S5 que satisfaz a equação
a^2 x b^-1 = c . Vamos precisar usar conceitos de álgebra de grupos, especialmente sobre permutações e suas operações. Para resolver isso, vamos precisar calcular a inversa das permutações e multiplicar as permutações dadas seguindo a ordem correta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as permutações que temos:
Vamos converter essas permutações para a notação cíclica, que facilita as operações:
-
a = (1,4,2,5,3) -
b = (3,4) -
c = (1,5,2,4)
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação
a^2 x b^-1 = c para resolver
x :
Para isso, precisamos encontrar
a^-1 e
b^-1 .
Passo 4
Vamos encontrar
a^-1 . Como
a = (1,4,2,5,3) , sua inversa é simplesmente o ciclo na direção oposta:
Então,
a^-2 = (a^-1)^2 . Vamos calcular:
Agora, precisamos multiplicar
a^-2 ,
c e
b :
Passo 5
Vamos multiplicar as permutações passo a passo.
Primeiro, multiplicamos
c e
b :
Aplicando
b primeiro e depois
c :
- 1 vai para 5 (pois
não muda 1)b - 2 vai para 4 (pois
não muda 2, eb envia 2 para 4)c - 3 vai para 4 via
, depoisb envia 4 para 1c - 4 vai para 3 via
, depoisb envia 3 para 3c - 5 vai para 2 via
c
Então,
c cdot b = (1,5,2,4)(3,1) = (1,5,2,4,3)
Agora, multiplicamos
a^-2 com esse resultado:
Aplicando
c cdot b primeiro e depois
a^-2 :
- 1 vai para 5 via
, depois 5 vai para 4 viac cdot b a^-2 - 5 vai para 2 via
, depois 2 vai para 1 viac cdot b a^-2 - 2 vai para 4 via
, depois 4 vai para 3 viac cdot b a^-2 - 4 vai para 3 via
, depois 3 vai para 2 viac cdot b a^-2 - 3 vai para 1 via
, depois 1 vai para 5 viac cdot b a^-2
Então,
x = (1,4,3,2,5)
Resposta
A solução da equação é
x = (ccccc1 & 2 & 3 & 4 & 5 4 & 3 & 2 & 5 & 1) .