Calcule integral triplaW z^2 d x d y d z se W é o sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos z=0 e z=4.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de volume
integral triplaW z^2,dx,dy,dz
onde W é o cilindro definido por x^2+y^2<=1 e 0<= z<=4. O conteúdo da matéria é o uso de coordenadas cilíndricas para integrar em volumes com simetria circular.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
com Jacobiano r. Assim
dx,dy,dz = r,dr,dtheta,dz
e a integral vira
integral triplaWz^2,dx,dy,dz =integraltheta=0^2piintegralr=0^1integralz=0^4z^2,r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Como o integrando é produto de funções que dependem de variáveis separadas, separamos as integrais:
integralz=0^4z^2,dz = gl[z^33gr]0^4 = 4^33 = 643,
integralr=0^1r,dr = gl[r^22gr]0^1 = 12,
integraltheta=0^2pidtheta = 2pi

Passo 4

Basta multiplicar os resultados:
643times12times2pi = 64pi3

Resposta

64pi3

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