Considere o sólido limitado por x+y+z=3, x+y-z=1 e os planos coordenados. Calcule o volume do sólido, fazendo:
integral[integral[integral d y] d x] d z

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante ( x>=0, y>=0, z>=0 ) limitado pelas duas planas
x+y+z=3
e
x+y-z=1
e pelos planos coordenados. Vamos usar coordenadas cartesianas e integrar na ordem integrall[integrall[integral dyr]dxr]dz.

Passo 2

As desigualdades que definem o sólido são
x+y+z<=3, x+y-z>=1, x>=0,;y>=0,;z>=0
Da segunda e primeira temos
x+y>=1+z, x+y<=3-z
Para existir região com x,y>=0 é necessário 1+z<=3-z, ou seja z<=1. Logo
0<= z<=1

Passo 3

Fixando zin[0,1], as condições em x,y são
x>=0, y>=0, 1+z<= x+y<=3-z
Para integrar primeiro em y, note que, para dado x, a condição x+y>=1+z equivale a
y>=1+z-x,
mas também y>=0. Assim o limite inferior de y é
ymin=max0,,1+z-x,
e o limite superior é
ymax=3-x-z
Como 1+z<=3-z só para z<=1, em cada z temos x variando de 0 a 3-z, e há dois casos:
  • Se 0<= x<=1+z, então 1+z-x>=0 e ymin=1+z-x.
  • Se 1+z<= x<=3-z, então 1+z-x<=0 e ymin=0.

Passo 4

Escrevendo o volume V como integral em dy,dx,dz, obtemos
V =integral0^1 l( integral0^1+z integral,1+z-x^,3-x-zdy,dx ;+; integral1+z^3-z integral,0^,3-x-zdy,dx r) dz

Passo 5

Calculemos primeiro as integrais em y e x para cada parte:
  1. Para 0<= x<=1+z:
integral,1+z-x^,3-x-zdy =(3-x-z)-(1+z-x)=2-2z,
integral0^1+z(2-2z),dx=(1+z)(2-2z)=2-2z^2
  1. Para 1+z<= x<=3-z:
integral0^3-x-zdy=3-x-z,
integral1+z^3-z(3-x-z),dx =2-4z+2z^2
Somando as duas partes em x
(2-2z^2)+(2-4z+2z^2)=4-4z=4(1-z)

Passo 6

Finalmente, integraremos em z:
V=integral0^14(1-z),dz =4l[z-tfracz^22r]0^1 =4l(1-tfrac12r) =2

Resposta

O volume do sólido é 2.

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