Considere o sólido limitado por
e os planos coordenados. Calcule o volume do sólido, fazendo:
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante (
,
,
) limitado pelas duas planas
e
e pelos planos coordenados. Vamos usar coordenadas cartesianas e integrar na ordem
.
Passo 2
As desigualdades que definem o sólido são
Da segunda e primeira temos
Para existir região com
é necessário
, ou seja
. Logo
Passo 3
Fixando
, as condições em
são
Para integrar primeiro em
, note que, para dado
, a condição
equivale a
mas também
. Assim o limite inferior de
é
e o limite superior é
Como
só para
, em cada
temos
variando de
a
, e há dois casos:
- Se
, então e . - Se
, então e .
Passo 4
Escrevendo o volume
como integral em
, obtemos
Passo 5
Calculemos primeiro as integrais em
e
para cada parte:
- Para
:
- Para
:
Somando as duas partes em
dá
Passo 6
Finalmente, integraremos em
:
Resposta
O volume do sólido é
.