Determine os pontos críticos e classifique-os:
Passo 1
O enunciado pede os pontos críticos de
e sua classificação (mínimo, máximo ou nenhum). Para isso precisamos:
. Calcular a derivada
.
. Encontrar onde
ou onde
não está definida (esses são os pontos críticos).
. Fazer uma análise de sinal de
em cada intervalo para classificar cada ponto crítico.
Passo 2
Derivando termo a termo:
Logo,
Passo 3
Os pontos críticos são:
. Soluções de
: do fator
vem
, ou seja
.
. Pontos onde
não está definida: o denominador
se anula em
.
Assim os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Analisamos o sinal de
. Note que
para todo
, e
. Logo o sinal de
é o sinal de
:
- Para
(mas ), temos . - Para
, temos .
Portanto em
a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Em a derivada é negativa tanto à esquerda quanto à direita (não muda de sinal), logo não há nem mínimo nem máximo local em
.
Em
Passo 5
Calculando os valores:
Em
há mínimo local com
. Em
não há extremum.
Resposta
Pontos críticos e classificação:
: ponto crítico (onde
não existe), mas sem extremum.
: mínimo local, com
.