Determine os pontos críticos e classifique-os:
f(x)=x^4 / 3-4 x^1 / 3

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de f(x)=x^4/3-4x^1/3 e sua classificação (mínimo, máximo ou nenhum). Para isso precisamos:
1. Calcular a derivada f'(x).
2. Encontrar onde f'(x)=0 ou onde f'(x) não está definida (esses são os pontos críticos).
3. Fazer uma análise de sinal de f'(x) em cada intervalo para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Derivando termo a termo:
ddxl(x^4/3r)=43x^1/3, ddxl(-4x^1/3r)=-4cdot13x^-2/3=-43x^-2/3
Logo,
f'(x)=43x^1/3-43x^-2/3 =43l(x^1/3-x^-2/3r) =43,x-1x^2/3

Passo 3

Os pontos críticos são:
1. Soluções de f'(x)=0: do fator x-1x^2/3=0 vem x-1=0, ou seja x=1.
2. Pontos onde f'(x) não está definida: o denominador x^2/3 se anula em x=0.
Assim os pontos críticos são x=0 e x=1.

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x)=tfrac43,tfracx-1x^2/3. Note que x^2/3>0 para todo xneq0, e tfrac43>0. Logo o sinal de f'(x) é o sinal de x-1:
  • Para x<1 (mas xneq0), temos x-1<0 Rightarrow f'(x)<0.
  • Para x>1, temos x-1>0 Rightarrow f'(x)>0.
Portanto em x=1 a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Em x=0 a derivada é negativa tanto à esquerda quanto à direita (não muda de sinal), logo não há nem mínimo nem máximo local em x=0.

Passo 5

Calculando os valores:
f(0)=0^4/3-4cdot0^1/3=0, f(1)=1^4/3-4cdot1^1/3=1-4=-3
Em x=1 há mínimo local com f(1)=-3. Em x=0 não há extremum.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
x=0: ponto crítico (onde f' não existe), mas sem extremum.
x=1: mínimo local, com f(1)=-3.

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