Considere o sólido limitado por x+y+z=3, x+y-z=1 e os planos coordenados. Calcule o volume do sólido, fazendo:
integral[integral[integral d x] d z] d y

Passo 1

O sólido é dado por
x+y+z<= 3, x+y-z>= 1, x>= 0,;y>= 0,;z>= 0
Isto equivale a
z<= 3-x-y, z>= x+y-1, x,y,z>= 0
Vamos usar integração tripla em ordem dx, depois dz e finalmente dy.

Passo 2

Para fixos (y,z), as desigualdades em x são
x+y+z<=3implies x<= 3-y-z,
x+y-z>=1implies x>= 1+z-y,
x>=0
Logo
xinl[max(0,,1+z-y),;3-y-zr]

Passo 3

Precisamos que max(0,1+z-y)<=3-y-z. Estudamos em função de y:
  • Para 0<= y<=2: verifica-se que 1+z-y>=0 sempre que 0<= z<=1.
    Então
    zin[0,1], xin[,1+z-y,;3-y-z,]
  • Para 2<= y<=3: tem-se 1+z-y<=0 sempre que 0<= z<=3-y.
    Então
    zin[0,,3-y], xin[,0,;3-y-z,]
Assim o volume é soma de duas integrais em y:
V=integraly=0^2!integralz=0^1!integralx=1+z-y^3-y-zdx,dz,dy ;+;integraly=2^3!integralz=0^3-y!integralx=0^3-y-zdx,dz,dy

Passo 4

Calculamos a primeira parcela. Para 0<= y<=2:
integralx=1+z-y^3-y-zdx = (3-y-z)-(1+z-y)=2-2z
Então
integralz=0^1(2-2z),dz =l[2z - z^2r]0^1 =2-1=1,
e
integraly=0^21,dy=2

Passo 5

Agora a segunda parcela. Para 2<= y<=3:
integralx=0^3-y-zdx = 3-y-z
Logo
integralz=0^3-y(3-y-z),dz =integral0^3-y(3-y),dz - integral0^3-yz,dz =(3-y)^2 - tfrac(3-y)^22 =tfrac(3-y)^22
E então
integraly=2^3(3-y)^22,dy =12integralu=0^1u^2,du =12cdot13 =16

Resposta

O volume do sólido é 136.

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