Determine os pontos críticos e classifique-os:
h(x)=x e^-x^2

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de
h(x)=x,e^-x^2
e classificá-los em máximo ou mínimo. Vamos precisar de derivação (regra do produto) para encontrar h'(x), depois resolver h'(x)=0 e usar o teste da segunda derivada para a classificação.

Passo 2

Aplicando a regra do produto em h(x)=xcdot e^-x^2, temos
h'(x) =ddx[x];e^-x^2+x;ddxl(e^-x^2r) =e^-x^2+xl(-2x,e^-x^2r) =e^-x^2l(1-2x^2r)

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, igualamos h'(x)=0. Como e^-x^2neq0 para todo x, basta
1-2x^2=0 ;Longrightarrow; x^2=tfrac12 ;Longrightarrow; x=pm1raiz2

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada para classificar os pontos. Partindo de
h'(x)=e^-x^2(1-2x^2) e usando regra do produto novamente, obtemos
h''(x) =ddxl[e^-x^2r](1-2x^2) +e^-x^2ddx(1-2x^2) =e^-x^2l(-2xr)(1-2x^2)+e^-x^2(-4x) =e^-x^2l(4x^3-6xr)

Passo 5

Avaliamo-la em cada crítico:
Para x=1/raiz2, temos 4x^3-6x=4l(tfrac1raiz2r)^3-6l(tfrac1raiz2r)=-2raiz2<0, logo
h''l(tfrac1raiz2r)<0
e x=1/raiz2 é ponto de máximo local.
Para x=-1/raiz2, temos 4x^3-6x=4l(-tfrac1raiz2r)^3-6l(-tfrac1raiz2r)=2raiz2>0, logo
h''l(-tfrac1raiz2r)>0
e x=-1/raiz2 é ponto de mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos são
x=-1raiz2(mínimo local), x=+1raiz2(máximo local) íá

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