Calcule
se
é o sólido limitado pelo cilindro
e os planos
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é o sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
,
e
.
Conteúdo: mudança para coordenadas cilíndricas. Vamos precisar (1) descrever a projeção de no plano
em termos de
, (2) escrever o integrando e o Jacobiano, e (3) executar as integrais em
,
e
.
Conteúdo: mudança para coordenadas cilíndricas. Vamos precisar (1) descrever a projeção de
Passo 2
Na projeção no plano
temos
um cilindro de raio 1 centrado em
. Em coordenadas cilíndricas
,
, isso vira
Além disso a região está restringida a
, ou seja
, e
obriga
. Logo
e
varia de
a
.
Passo 3
Em cilíndricas temos
e o elemento de volume
. Assim a integral fica
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Logo a integral reduz-se a
Sabemos que
Substituindo,