Calcule integral triplaW z raizx^2+y^2 d x d y d z se W é o sólido limitado pelo cilindro x^2+ y^2=2 x e os planos y=0, z=0 e z=a.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaW z,raizx^2+y^2;dx,dy,dz
onde W é o sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=2x e pelos planos y=0, z=0 e z=a.
Conteúdo: mudança para coordenadas cilíndricas. Vamos precisar (1) descrever a projeção de W no plano xy em termos de (r,theta), (2) escrever o integrando e o Jacobiano, e (3) executar as integrais em z, r e theta.

Passo 2

Na projeção no plano xy temos
x^2+y^2=2x;Long<=ftrightarrow;(x-1)^2+y^2=1,
um cilindro de raio 1 centrado em (1,0). Em coordenadas cilíndricas x=rcostheta, y=rsintheta, isso vira
r^2=2rcostheta Longrightarrow r=2costheta
Além disso a região está restringida a y>=0, ou seja sintheta>=0, e r>=0 obriga costheta>=0. Logo
0<=theta<=pi2, 0<= r<= 2costheta,
e z varia de 0 a a.

Passo 3

Em cilíndricas temos raizx^2+y^2=r e o elemento de volume dx,dy,dz=r,dr,dtheta,dz. Assim a integral fica
integraltheta=0^pi/2integralr=0^2costhetaintegralz=0^a z;(r);l(r,dz,dr,dthetar) =integral0^pi/2integral0^2costhetaintegral0^az,r^2;dz,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em z:
integral0^az,dz=a^22
Logo a integral reduz-se a
a^22integral0^pi/2!integral0^2costhetar^2;dr,dtheta =a^22integral0^pi/2l[r^33r]0^2costhetadtheta =a^22integral0^pi/2(2costheta)^33,dtheta =4a^23integral0^pi/2cos^3theta,dtheta
Sabemos que
integral0^pi/2cos^3theta,dtheta =l[sintheta-tfracsin^3theta3r]0^pi/2 =1-tfrac13=tfrac23
Substituindo,
4a^23cdot23 =89,a^2

Resposta

integral triplaW z,raizx^2+y^2;dx,dy,dz =89,a^2

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