Esboce a região de integração e calcule a integral:
integral0^pi integral0^x x sen(y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região de integração e calcular a integral dupla integral0^pi integral0^x x sin(y) , dy , dx. Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas, que faz parte do cálculo integral. Para resolver, vamos precisar entender como identificar e desenhar a região de integração e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral está definida de x = 0 a x = pi e, para cada x, y varia de 0 a x. Isso significa que a região de integração está abaixo da linha y = x e entre x = 0 e x = pi.

Passo 3

Vamos esboçar essa região no plano xy. Desenhe um gráfico onde o eixo x vai de 0 a pi e o eixo y vai de 0 a pi. A linha y = x vai do ponto (0,0) até (pi, pi). A região de integração é o triângulo formado por x de 0 a pi, y de 0 a x.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral integral0^pi integral0^x x sin(y) , dy , dx. Primeiro, integramos em relação a y mantendo x constante.
A integral interna é:
integral0^x x sin(y) , dy
Como x é constante em relação a y, podemos tirá-lo da integral:
x integral0^x sin(y) , dy

Passo 5

Vamos calcular integral sin(y) , dy. A antiderivada de sin(y) é -cos(y). Então:
integral0^x sin(y) , dy = -cos(y) g|0^x = -cos(x) + cos(0) = -cos(x) + 1

Passo 6

Substituindo de volta na integral interna:
x (-cos(x) + 1) = -x cos(x) + x
Agora, nossa integral dupla se transforma em:
integral0^pi (-x cos(x) + x) , dx

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes:
integral0^pi -x cos(x) , dx + integral0^pi x , dx
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 8

Primeira integral: integral -x cos(x) , dx
Para resolver isso, usamos integração por partes, onde:
u = -x Rightarrow du = -dx
dv = cos(x) , dx Rightarrow v = sin(x)
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du :
-x sin(x) - integral sin(x) (-1) , dx = -x sin(x) + integral sin(x) , dx = -x sin(x) - cos(x) + C
Agora, avaliamos de 0 a pi:
[-pi sin(pi) - cos(pi)] - [ -0 sin(0) - cos(0)] = [0 - (-1)] - [0 - 1] = 1 - (-1) = 2

Passo 9

Segunda integral: integral0^pi x , dx
A antiderivada de x é 12x^2, então:
12x^2 g|0^pi = 12pi^2 - 0 = pi^22

Passo 10

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
2 + pi^22

Resposta

A integral é igual a 2 + pi^22.

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