Esboce a região de integração e calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região de integração e calcular a integral dupla . Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas, que faz parte do cálculo integral. Para resolver, vamos precisar entender como identificar e desenhar a região de integração e depois calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral está definida de a e, para cada , varia de a . Isso significa que a região de integração está abaixo da linha e entre e .
Passo 3
Vamos esboçar essa região no plano . Desenhe um gráfico onde o eixo vai de a e o eixo vai de a . A linha vai do ponto até . A região de integração é o triângulo formado por de a , de a .
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral . Primeiro, integramos em relação a mantendo constante.
A integral interna é:
Como é constante em relação a , podemos tirá-lo da integral:
Passo 5
Vamos calcular . A antiderivada de é . Então:
Passo 6
Substituindo de volta na integral interna:
x (-cos(x) + 1) = -x cos(x) + x
Agora, nossa integral dupla se transforma em:
integral0^pi (-x cos(x) + x) , dx
Passo 7
Vamos separar a integral em duas partes:
integral0^pi -x cos(x) , dx + integral0^pi x , dx
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 8
Primeira integral: integral -x cos(x) , dx
Para resolver isso, usamos integração por partes, onde:
u = -x Rightarrow du = -dx
dv = cos(x) , dx Rightarrow v = sin(x)
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du :
-x sin(x) - integral sin(x) (-1) , dx = -x sin(x) + integral sin(x) , dx = -x sin(x) - cos(x) + C