Considere o sólido limitado por
e os planos coordenados. Calcule o volume do sólido, fazendo:
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido em primeiro octante (ou seja,
) limitado pelos planos
Vamos usar uma integral tripla na ordem
e, para isso, determinar limites de
em função de
e depois a região projetada no plano
.
Passo 2
Para
, as duas condições em
são
além de
. Logo, para cada
fixo,
Passo 3
A projeção
no plano
é dada por
isto é
Dessa desigualdade surge
. Além disso há duas faixas em
:
- Se
, então e assim . - Se
, então .
Passo 4
O volume é
No segundo integrando simplifica para
. Chamemos estes dois termos de
e
.
Passo 5
Calcular
Fazendo a integral em
:
Agora em
:
Passo 6
Calcular
Para avaliar, dividimos em duas faixas em
:
-
, . -
, .
Em ambas integrais internas em
dá um resultado que, ao integrar em
, soma
Passo 7
Somando os dois resultados: