Considere o sólido limitado por x+y+z=3, x+y-z=1 e os planos coordenados. Calcule o volume do sólido, fazendo:
integral[integral[integral d z] d y] d x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido em primeiro octante (ou seja, ,x>=0,;y>=0,;z>=0) limitado pelos planos
x + y + z = 3,
x + y - z = 1
Vamos usar uma integral tripla na ordem
integrall[integrall[integral dzr]dyr]dx
e, para isso, determinar limites de z em função de (x,y) e depois a região projetada no plano xy.

Passo 2

Para x,y>=0, as duas condições em z são
z <= 3 - x - y (do plano (x+y+z=3)),
z >= x + y - 1 (do plano (x+y-z=1)),
além de z>=0. Logo, para cada (x,y) fixo,
zmin = max0,;x+y-1, zmax = 3 - x - y

Passo 3

A projeção D no plano xy é dada por
x>=0, y>=0, zmin<= zmax,
isto é
max0,x+y-1<=3-x-y
Dessa desigualdade surge x+y<=2. Além disso há duas faixas em D:
  • Se x+y<=1, então x+y-1<=0 e assim zmin=0.
  • Se 1<= x+y<=2, então zmin=x+y-1.

Passo 4

O volume é
V ;=;integral duplaD(zmax-zmin),dx,dy ;=;integral duplax+y<=1(3 - x - y),dx,dy ;+;integral dupla1<= x+y<=2l[,3 - x - y - (x+y-1)r],dx,dy
No segundo integrando simplifica para 4-2(x+y). Chamemos estes dois termos de V1 e V2.

Passo 5

Calcular
V1 =integralx=0^1integraly=0^1-x(3 - x - y),dy,dx
Fazendo a integral em y:
integral0^1-x(3 - x - y),dy =(3-x)(1-x)-tfrac(1-x)^22 =tfrac52-3x+tfracx^22
Agora em x:
V1 =integral0^1l(tfrac52-3x+tfracx^22r),dx =l[tfrac52x-tfrac32x^2+tfracx^36r]0^1 =tfrac76

Passo 6

Calcular
V2 =integral dupla1<= x+y<=2l(4-2(x+y)r),dx,dy
Para avaliar, dividimos em duas faixas em x:
  1. 0<= x<=1, 1-x<= y<=2-x.
  2. 1<= x<=2, 0<= y<=2-x.
Em ambas integrais internas em y dá um resultado que, ao integrar em x, soma
V2 = 1 + tfrac13 = tfrac43

Passo 7

Somando os dois resultados:
V = V1 + V2 = tfrac76 + tfrac43 = tfrac76 + tfrac86 = tfrac156 = tfrac52

Resposta

boxedtfrac52

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