Calcule
se
é o sólido limitado pela esfera:
.
Passo 1
O enunciado nos pede calcular
onde
é o sólido limitado pela esfera
Este problema envolve integrais triplas em domínios esféricos deslocados e exploração de simetria. Vamos resolver fazendo uma mudança de variável que recentre a esfera na origem e, em seguida, usar a simetria para eliminar termos ímpares e computar os termos restantes.
Passo 2
Definimos a mudança de variável
que tem jacobiano igual a
. Em coordenadas
, o domínio
vira a esfera de raio
centrada na origem:
A integral transforma-se em
Passo 3
Expandindo o integrando, temos
Logo a integral se decompõe em quatro termos correspondentes a cada parcela dessa soma.
Passo 4
Pelo fato de a esfera em
ser simétrica em relação à origem, sabemos que
Restam dois termos:
Aqui
e
Passo 5
Substituindo esses valores em
, obtemos