Calcule integral triplaW(x^3+y^3+z^3) d x d y d z se W é o sólido limitado pela esfera: (x-a)^2+(y-a)^2+(z-a)^2=a^2.

Passo 1

O enunciado nos pede calcular
integral triplaW(x^3+y^3+z^3),dx,dy,dz
onde W é o sólido limitado pela esfera
,(x-a)^2+(y-a)^2+(z-a)^2=a^2
Este problema envolve integrais triplas em domínios esféricos deslocados e exploração de simetria. Vamos resolver fazendo uma mudança de variável que recentre a esfera na origem e, em seguida, usar a simetria para eliminar termos ímpares e computar os termos restantes.

Passo 2

Definimos a mudança de variável
u = x - a, v = y - a, w = z - a
que tem jacobiano igual a 1. Em coordenadas (u,v,w), o domínio W vira a esfera de raio a centrada na origem:
u^2+v^2+w^2<= a^2
A integral transforma-se em
integral triplau^2+v^2+w^2<= a^2l((u+a)^3+(v+a)^3+(w+a)^3r),du,dv,dw

Passo 3

Expandindo o integrando, temos
(u+a)^3+(v+a)^3+(w+a)^3 = l(u^3+v^3+w^3r) +3al(u^2+v^2+w^2r) +3a^2l(u+v+wr) +3a^3
Logo a integral se decompõe em quatro termos correspondentes a cada parcela dessa soma.

Passo 4

Pelo fato de a esfera em (u,v,w) ser simétrica em relação à origem, sabemos que
integral tripla u^3,dV=integral tripla v^3,dV=integral tripla w^3,dV=0, integral tripla u,dV=integral tripla v,dV=integral tripla w,dV=0
Restam dois termos:
I = 3aintegral tripla(u^2+v^2+w^2),dV ;+;3a^3integral tripla dV
Aqui
integral tripla dV = 43pi a^3,
e
integral tripla(u^2+v^2+w^2),dV =integral0^a!integraltheta=0^pi!integralphi=0^2pi r^2,l(r^2sinthetar),dphi,dtheta,dr =4piintegral0^ar^4dr =4pi a^55

Passo 5

Substituindo esses valores em I, obtemos
I =3acdot4pi a^55 ;+;3a^3cdot43pi a^3 =12pi a^65+4pi a^6 =12pi a^6+20pi a^65 =325,pi,a^6

Resposta

integral triplaW(x^3+y^3+z^3),dx,dy,dz =325,pi,a^6

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