Determine o volume do sólido limitado pelos planos
,
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante (ou seja, limitado por
,
,
) e por um plano oblíquo dado por
Para resolver, vamos usar um integral triplo em coordenadas cartesianas, projetar o sólido no plano
e depois integrar a altura
.
Passo 2
Primeiro projetamos a região no plano
. Como
e
, impomos
Logo, na projeção temos
Em cada ponto
dessa região,
varia de
até
.
Passo 3
Montamos o volume como
onde
Em coordenadas iteradas:
Passo 4
Calculamos primeiro a integral em
:
Então
Fazendo a substituição
u=4 - x , obtemos
Logo