Determine o volume do sólido limitado pelos planos 4 y+2 x+z=8, x=0, y=0 e z=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante (ou seja, limitado por x=0, y=0, z=0) e por um plano oblíquo dado por
4y + 2x + z = 8
Para resolver, vamos usar um integral triplo em coordenadas cartesianas, projetar o sólido no plano xy e depois integrar a altura z.

Passo 2

Primeiro projetamos a região no plano xy. Como z>=0 e z = 8 - 2x - 4y, impomos
8 - 2x - 4y >= 0 Longrightarrow 2x + 4y <= 8 Longrightarrow x + 2y <= 4
Logo, na projeção temos
0 <= x <= 4, 0 <= y <= 4 - x2
Em cada ponto (x,y) dessa região, z varia de 0 até 8 - 2x - 4y.

Passo 3

Montamos o volume como
V = integral duplaRl[integral0^,8 - 2x - 4y dzr],dA = integral duplaR(8 - 2x - 4y),dA,
onde
R = l(x,y)mid 0<= x<=4,;0<= y<=4 - x2r
Em coordenadas iteradas:
V = integralx=0^4!integraly=0^4 - x2!(8 - 2x - 4y),dy,dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em y:
integral0^4 - x2(8 - 2x - 4y),dy = (8 - 2x),y |0^4 - x2 - 4cdoty^22|0^4 - x2 = (4 - x)^22
Então
V = integral0^4(4 - x)^22,dx = 12integral0^4(4 - x)^2,dx
Fazendo a substituição u=4 - x, obtemos
integral0^4(4 - x)^2,dx = integralu=4^0u^2(-du) = integral0^4u^2,du = 4^33 = 643
Logo
V = 12,643 = 323

Resposta

boxed323

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