Calcule a solubilidade do \mathrm{Cd}\left(\mathrm{IO}_{3}\right)_{2} em solução de Cd(NO3)2 0,200 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. Dados: \mathrm{Kps} \mathrm{Cd}\left(\mathrm{IO}_{3}\right)_{2}=2,3 \times 10^{-8}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a solubilidade do \mathrm{Cd}(\mathrm{IO}_3)_2 em uma solução que já contém \mathrm{Cd}^{2+} de \mathrm{Cd}(\mathrm{NO}_3)_2 na concentração 0,200\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}. Dados fornecidos:
K_{sp}\big(\mathrm{Cd}(\mathrm{IO}_3)_2\big)=2,3\times10^{-8}
As perguntas claras são:
\text{Qual é a solubilidade (em mol·L}^{-1}\text{) de }\mathrm{Cd}(\mathrm{IO}_3)_2\text{ nessa solução?}éçã
Informações relevantes listadas:
\begin{aligned} &[\mathrm{Cd}^{2+}]_{\text{inicial\,(de Cd(NO}_3)_2)}=0,200\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}\\\ &K_{sp}=2,3\times10^{-8} \end{aligned}

Passo 2

Escrevemos a equação de dissolução e definimos a incógnita que representa a solubilidade.
Equação de dissolução:
\mathrm{Cd}(\mathrm{IO}_3)_2(s)\rightleftharpoons \mathrm{Cd}^{2+}(aq)+2\,\mathrm{IO}_3^{-}(aq)
Definimos s como a solubilidade molar do sal: s é a quantidade (em mol·L^{-1}) de \mathrm{Cd}(\mathrm{IO}_3)_2 que se dissolve. Significado físico de s: ao dissolver s mol·L^{-1}) do sal, formam-se s mol·L^{-1}) de \mathrm{Cd}^{2+} e 2s mol·L^{-1}) de \mathrm{IO}_3^{-}.

Passo 3

Escrevemos as concentrações no equilíbrio em função de s, lembrando que já há \mathrm{Cd}^{2+} inicial de 0,200\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
\begin{aligned} [\mathrm{Cd}^{2+}]&=0,200+s\\\ [\mathrm{IO}_3^{-}]&=2s \end{aligned}
Aqui eu explico: [\mathrm{Cd}^{2+}] tem a contribuição inicial 0,200 e a contribuição +s proveniente da dissolução do sal. [\mathrm{IO}_3^{-}] não está presente inicialmente, então vem só dos 2s gerados por cada mol de sal dissolvido.

Passo 4

Usamos a expressão do produto de solubilidade ( K_{sp}). Para a reação acima:
K_{sp}=[\mathrm{Cd}^{2+}]\,[\mathrm{IO}_3^{-}]^2
Substituindo as concentrações em função de s:
2,3\times10^{-8}=(0,200+s)\,(2s)^2
Simplificando o lado direito:
2,3\times10^{-8}=4\,(0,200+s)\,s^2
Isso é uma equação em s que, se resolvida exatamente, dá uma equação cúbica. Porém, em muitos problemas com íons comuns (aqui o \mathrm{Cd}^{2+} é íon comum), a contribuição s é muito pequena comparada à concentração inicial e podemos usar uma aproximação inteligente. A seguir eu mostro essa aproximação e como checar que ela é válida.

Passo 5

Aplicamos a aproximação (0,200+s)\approx0,200 porque esperamos que s seja muito menor que 0,200. Com isso:
2,3\times10^{-8}\approx 4\cdot0,200\cdot s^2
Calculando 4\cdot0,200:
4\cdot0,200=0,800
Logo:
2,3\times10^{-8}=0,800\,s^2
Isolando s^2:
s^2=\dfrac{2,3\times10^{-8}}{0,800}
Faço a divisão passo a passo: primeiro 2,3/0,8=2,875. Portanto
s^2=2,875\times10^{-8}
Agora extraio a raiz quadrada. Lembro que \sqrt{a\times10^{n}}=\sqrt{a}\times10^{n/2}. Aqui n=-8, então 10^{n/2}=10^{-4}. Então:
s=\sqrt{2,875}\times10^{-4}
Aproximando \sqrt{2,875}\approx1,695, obtemos
s\approx 1,695\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}
Arredondando para três algarismos significativos fica
s\approx 1,70\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}

Passo 6

Verificação da aproximação: com s\approx1,695\times10^{-4},
\dfrac{s}{0,200}\approx \dfrac{1,695\times10^{-4}}{0,200}=8,475\times10^{-4}=0,08475\%
Isto é, s é cerca de 0,085\% de 0,200, muito pequeno. Como regra prática, se s for menor que cerca de 5\% da concentração inicial, a aproximação é excelente. Portanto a aproximação (0,200+s)\approx0,200 é válida e o valor encontrado é confiável.

Resposta

s\approx 1,70\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}

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