Calcule o pH de uma solução 0,01 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} de cloridrato de Lisina \mathrm{H}_{2} \mathrm{~L}^{+} \mathrm{Cl}^{-} \mathrm{pK}_{1}=1,77 ; \mathrm{pK}_{2}=9,07 ; \mathrm{pK}_{3}=10,82.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pede: calcular o pH de uma solução 0,01\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} do cloridrato de lisina.
  • Dados que peguei do enunciado:
    • Concentração inicial da espécie \mathrm{H_{2}L^{+}} (sal cloridrato): C=0,01\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
    • \mathrm{pK}_{1}=1,77.
    • \mathrm{pK}_{2}=9,07.
    • \mathrm{pK}_{3}=10,82.
  • Pergunta explícita: qual é o valor do pH dessa solução?

Passo 2

Entendendo as espécies e o que significam os \mathrm{pK}s (explicação didática, passo a passo):
  • A lisina tem três centros que podem estar protonados, então as espécies e suas cargas seguem a cadeia \mathrm{H_{3}L^{2+}}\\ \rightleftharpoons\\ \mathrm{H_{2}L^{+}}\\ \rightleftharpoons\\ \mathrm{HL}\\ \rightleftharpoons\\ \mathrm{L^{-}}.As cargas entre parênteses são: +2,\\\ +1,\\\ 0,\\\ -1, respectivamente.
  • Cada \mathrm{pK} corresponde à dissociação ácida de um desses passos:
    • \mathrm{pK}_{1} refere-se a \mathrm{H_{3}L^{2+}} \rightleftharpoons \mathrm{H_{2}L^{+}} + \mathrm{H^{+}}.
    • \mathrm{pK}_{2} refere-se a \mathrm{H_{2}L^{+}} \rightleftharpoons \mathrm{HL} + \mathrm{H^{+}}.
    • \mathrm{pK}_{3} refere-se a \mathrm{HL} \rightleftharpoons \mathrm{L^{-}} + \mathrm{H^{+}}.
  • Na solução temos inicialmente a forma \mathrm{H_{2}L^{+}} (o sal cloridrato fornece essa espécie). Essa espécie é amphotérica: pode doar próton (agir como ácido, formando \mathrm{HL}) ou aceitar próton (agir como base, formando \mathrm{H_{3}L^{2+}}).
  • Existe um resultado padrão muito útil: para uma espécie amphotérica do tipo \mathrm{H_{2}A^{+}} (como aqui \mathrm{H_{2}L^{+}}), o pH da solução do sal puro costuma ser aproximadamente a média aritmética dos dois \mathrm{pK} adjacentes, ou seja \mathrm{pH}\approx\frac{\mathrm{pK}_{1}+\mathrm{pK}_{2}}{2}.Vou agora explicar de onde vem essa fórmula.

Passo 3

Derivação (didática) da fórmula \mathrm{pH}=\tfrac{1}{2}(\mathrm{pK}_{1}+\mathrm{pK}_{2}) para a espécie amphotérica:
  • Escrevemos as constantes de dissociação ácida correspondentes: K_{1}=\frac{[\mathrm{H^{+}}][\mathrm{H_{2}L^{+}}]}{[\mathrm{H_{3}L^{2+}}]},\qquad K_{2}=\frac{[\mathrm{H^{+}}][\mathrm{HL}]}{[\mathrm{H_{2}L^{+}}]}.
  • Multiplicando as duas expressões: K_{1}K_{2}=\frac{[\mathrm{H^{+}}]^{2}[\mathrm{HL}]}{[\mathrm{H_{3}L^{2+}}]}.
  • Agora observe que, numa solução preparada a partir do sal \mathrm{H_{2}L^{+}} puro (sem outras fontes de ácido ou base), as reações de aceitar e ceder prótons tendem a criar quantidades comparáveis de \mathrm{H_{3}L^{2+}} e de \mathrm{HL} (intuitivamente: parte das moléculas aceita próton e parte doa; a este estado de equilíbrio, as concentrações desses dois extremos ficam da mesma ordem). Tomando a hipótese razoável e usual para este tipo de problema de que, na região onde a forma \mathrm{H_{2}L^{+}} domina, vale aproximadamente [\mathrm{HL}]\approx[\mathrm{H_{3}L^{2+}}],(isso é a hipótese que torna o resultado simples e prática em provas),
    então da equação anterior obtemos K_{1}K_{2}\approx[\mathrm{H^{+}}]^{2}.
  • Tomando logaritmo decadicamente e usando \mathrm{pK}_{i}=-\log K_{i} e \mathrm{pH}=-\log[\mathrm{H^{+}}], obtemos \mathrm{pH}\approx\tfrac{1}{2}(\mathrm{pK}_{1}+\mathrm{pK}_{2}).
  • Comentário sobre validade: essa aproximação é muito usada e funciona bem quando a espécie amphotérica é a principal forma inicial (como é o caso de um sal do tipo \mathrm{H_{2}L^{+}Cl^{-}}) e quando a terceira dissociação (aqui \mathrm{pK}_{3}) está bem afastada — como acontece aqui, \mathrm{pK}_{3}=10,82 é relativamente alto e não influencia muito o equilíbrio ao redor do pH que encontraremos.

Passo 4

Aplicando a fórmula com os valores numéricos dados:
  • Calculamos a média aritmética: \mathrm{pH}\approx\frac{\mathrm{pK}_{1}+\mathrm{pK}_{2}}{2}=\frac{1,77+9,07}{2}.
  • Somando e dividindo: \mathrm{pH}\approx\frac{10,84}{2}=5,42.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida:
  • O valor encontrado é \mathrm{pH}\approx5,42.
  • Observação prática: apesar de a lisina ser uma base (cadeia lateral básica), o sal cloridrato contém a forma protonada \mathrm{H_{2}L^{+}}, que acidifica a solução relativamente à água pura; o pH encontrado (5,42) está na faixa ácida fraca, consistente com ter uma espécie protonada no meio.
  • A aproximação usada é a que se espera em problemas de prova; se necessário muito rigor, poderia montar as equações de equilíbrio completas e resolver numericamente, mas para concentração 0,01\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} e \mathrm{pK}s tão espaçados, a média é bastante confiável.

Resposta

\mathrm{pH}=5,42

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