Calcule a solução y(t) da equação diferencial ordinária a coeficientes constantes dada por
ddoty(t)+6 doty(t)+9 y(t)=0, y(0)=1, doty(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial ordinária de segunda ordem a coeficientes constantes
ddoty(t)+6doty(t)+9y(t)=0,
com condições iniciais y(0)=1 e doty(0)=0. Vamos usar o método da equação característica para EDOs lineares homogêneas de ordem 2.

Passo 2

Formamos a equação característica associada, trocando ddoty por lambda^2 e doty por lambda:
lambda^2 + 6lambda + 9 = 0
Reconhecemos que este polinômio é um quadrado perfeito:
(lambda + 3)^2 = 0,
logo há raiz dupla lambda = -3.

Passo 3

Para raiz dupla lambda=-3, a forma geral da solução é
y(t) = l(C1 + C2,tr),e^-3t,
onde C1 e C2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calculamos a derivada de y(t):
y'(t) = ddtl[(C1 + C2 t)e^-3tr] = l(C2 - 3C1 - 3C2 tr)e^-3t
Em t=0 temos
y(0)=C1=1, y'(0)=C2 - 3C1 = 0 Longrightarrow C2 = 3

Passo 5

Substituindo C1=1 e C2=3 na solução geral resulta
y(t) = (1 + 3t),e^-3t

Resposta

y(t) = (1+3t),e^-3t

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