Determine a solução y(t) da equação diferencial
ddoty(t)+3 doty(t)+2 y(t)=0, y(0)=0, doty(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
ddoty(t) + 3doty(t) + 2y(t) = 0,
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e doty(0)=1. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y(t)=e^rt. Substituindo na equação diferencial, obtemos a equação característica
r^2 + 3r + 2 = 0
Resolvendo-a por fatoração, temos
r^2+3r+2 = (r+1)(r+2) = 0 Longrightarrow r1 = -1,; r2 = -2

Passo 3

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da equação é
y(t) = C1 e^-t + C2 e^-2t,
onde C1 e C2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calculamos a derivada
Usando
Da primeira equação leva a e, portanto, .

Passo 5

Substituindo C1=1 e C2=-1 na solução geral, obtemos
y(t) = e^-t - e^-2t

Resposta

y(t) = e^-t - e^-2t

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