Determine a solução y(t) da equação diferencial
doty(t)+2 y(t)=-e^-t+2 e^3 t, y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial linear de primeira ordem
doty(t) + 2,y(t) = -e^-t + 2,e^3t, y(0)=0
O conteúdo é o método do fator integrante para EDOs lineares.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(t) = e^integral 2,dt = e^2t
Multiplicando a equação original por mu(t), obtemos
e^2t,dot y + 2,e^2t,y = e^2tl(-e^-t+2,e^3tr) Longrightarrow l(e^2tyr)' = -e^t + 2,e^5t

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral l(e^2tyr)',dt = integral l(-e^t + 2,e^5tr),dt ;Longrightarrow; e^2ty = -e^t + 25,e^5t + C

Passo 4

Isolamos y(t):
y(t) = -e^-t + 25,e^3t + C,e^-2t
Para achar C, usamos y(0)=0:
0 = -e^0 + 25e^0 + C,e^0 ;Longrightarrow; 0 = -1 + 25 + C ;Longrightarrow; C = 35

Resposta

y(t) = -e^-t + 25,e^3t + 35,e^-2t

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