Determine a solução
da equação diferencial
sendo
o operador derivada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de ordem três
onde
, sujeita às condições iniciais
O conteúdo é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e raízes repetidas no polinômio característico.
Passo 2
Formamos o polinômio característico trocando
por
:
Isso dá raiz
de multiplicidade três. Pela teoria, a solução geral é
com constantes
a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Calculamos
e
. Como
e exigimos
, temos
Agora derivamos
Em
isso dá
e como
segue
Passo 4
Para achar
, calculamos a segunda derivada de
onde . Tem-se
onde
e em
surge
Como
e
,