Determine a solução y(t) da equação diferencial
(p+1)^3 y(t)=0, y(0)=1, doty(0)=0, ddoty(0)=1,
sendo p o operador derivada.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de ordem três
(p+1)^3y(t)=0,
onde p=tfracddt, sujeita às condições iniciais
y(0)=1, dot y(0)=0, ddot y(0)=1
O conteúdo é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e raízes repetidas no polinômio característico.

Passo 2

Formamos o polinômio característico trocando p por r:
(r+1)^3=0
Isso dá raiz r=-1 de multiplicidade três. Pela teoria, a solução geral é
y(t)=e^-tl(C1 + C2,t + C3,t^2r),
com constantes C1,C2,C3 a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Calculamos y(0) e y'(0). Como
y(0)=e^0(C1+0+0)=C1
e exigimos y(0)=1, temos
C1=1
Agora derivamos
y(t)=e^-t(C1+C2t+C3t^2)Longrightarrow y'(t)=e^-tl(C2 - C1 +(-C2+2C3)t - C3t^2r)
Em t=0 isso dá
y'(0)=C2 - C1,
e como y'(0)=0 segue
C2=C1=1

Passo 4

Para achar C3, calculamos a segunda derivada de
y'(t)=e^-tN(t)
onde N(t)=C2 - C1 +(-C2+2C3)t - C3t^2. Tem-se
y''(t)=e^-tl(N'(t)-N(t)r),
e em t=0 surge
y''(0)=C1-2C2+2C3
Como C1=C2=1 e y''(0)=1,
1 = 1 - 2cdot1 + 2C3 Longrightarrow 2C3=2 Longrightarrow C3=1

Resposta

boxedy(t)=e^-tl(1 + t + t^2r)

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