Determine a solução y(t) da equação diferencial
ddoty(t)+4 doty(t)+5 y(t)=0, y(0)=1, doty(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
ddoty(t)+4doty(t)+5y(t)=0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e doty(0)=0.
O conteúdo aqui é equações diferenciais ordinárias de 2.º ordem: a gente monta a equação característica, encontra as raízes (que podem ser complexas) e escreve a solução geral como combinação de exponencial e funções trigonométricas.

Passo 2

Formamos a equação característica associada trocando ddot yto r^2, dot yto r e yto1:
r^2+4r+5=0
O discriminante é De<a=4^2-4cdot1cdot5=16-20=-4, ou seja, raízes complexas
r=-2pm i
Para r=alphapm ibeta a solução geral fica
y(t)=e^alpha tl(C1cos(beta t)+C2sin(beta t)r),
logo aqui alpha=-2 e beta=1, dando
y(t)=e^-2tl(C1cos t + C2sin tr)

Passo 3

Aplicamos y(0)=1. Note que
y(0)=e^-2cdot0l(C1cos0 + C2sin0r) =1cdot(C1cdot1 + C2cdot0)=C1
Logo
C1=1

Passo 4

Precisamos de dot y(0)=0. Primeiro derivamos
y(t)=e^-2t(C1cos t + C2sin t),
então
dot y(t)=e^-2tl(-2(C1cos t + C2sin t)r) +e^-2tl(-C1sin t + C2cos tr)
Em t=0 isso vira
dot y(0)=1cdotl(-2(C1cdot1 + C2cdot0)r) +1cdotl(-C1cdot0 + C2cdot1r) =-2C1 + C2
Como dot y(0)=0 e já temos C1=1, obtemos
-2cdot1 + C2=0 Longrightarrow C2=2

Passo 5

Substituindo C1=1 e C2=2 na solução geral, concluímos
y(t)=e^-2tl(cos t + 2sin tr)

Resposta

y(t)=e^-2tl(cos t + 2sin tr)

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