Calcule a solução y(t) da equação diferencial ordinária a coeficientes constantes dada por
ddoty(t)+5 doty(t)+4 y(t)=e^-t, y(0)=0, doty(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO a coeficientes constantes
ddoty(t) + 5doty(t) + 4y(t) = e^-t,
com condições iniciais y(0)=0 e dot y(0)=0.
O método envolve achar a solução geral como soma da solução homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Estudamos a equação homogênea
ddotyh + 5dotyh + 4yh = 0
A equação característica é
r^2 + 5r + 4 = 0
cuja raízes são r = -1 e r = -4.
Logo
yh(t) = C1 e^-t + C2 e^-4t

Passo 3

Como o forçamento é e^-t e -1 é raiz simples da característica, usamos o palpite
yp(t) = A,t,e^-t
Calculando dot yp e ddot yp e substituindo em LHS, obtemos
l(-A(2 - t) + 5A(1 - t) + 4A tr)e^-t = e^-t implies 3A e^-t = e^-t implies A = tfrac13
Logo
yp(t) = tfrac13,t,e^-t

Passo 4

A solução geral é
y(t) = C1 e^-t + C2 e^-4t + tfrac13,t,e^-t
As condições iniciais geram o sistema
y(0)=C1 + C2 = 0, dot y(0) = -C1 -4C2 + tfrac13 = 0
Resolvendo, achamos
C1 = -tfrac19, C2 = tfrac19

Resposta

y(t) = -tfrac19e^-t + tfrac19e^-4t + tfrac13,t,e^-t

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