Calcule a solução y(t) da equação diferencial ordinária a coeficientes constantes dada por
ddoty(t)-2 doty(t)-8 y(t)=5 e^-t, y(0)=1, doty(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO
ddoty(t)-2doty(t)-8y(t)=5e^-t,
com condições iniciais y(0)=1 e dot y(0)=0.
O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo, que vamos resolver por superposição entre a solução homogênea e uma particular.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da equação homogênea
ddoty-2doty-8y=0
A equação característica é
r^2 -2r -8 = 0
cuja raiz são
r = 2 pm raiz4 +322 = 2 pm 62Longrightarrow r=4,;-2
Logo a parte homogênea é
yh(t) = C1 e^4t + C2 e^-2t

Passo 3

Em seguida buscamos uma solução particular da forma
yp(t) = A e^-t,
porque a forçante é 5e^-t. Calculamos
dot yp = -A e^-t, ddot yp = A e^-t,
e substituímos na EDO:
ddot yp -2dot yp -8yp = A e^-t -2(-A e^-t) -8(A e^-t) = (A + 2A -8A)e^-t = -5A,e^-t
Queremos isso igual a 5e^-t, logo -5A=5 e A=-1. Assim
yp(t) = -e^-t

Passo 4

A solução geral fica
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^4t + C2 e^-2t - e^-t

Passo 5

Para ajustar
Em :
O sistema é
Da primeira equação .

Resposta

boxedy(t) = tfrac12,e^4t + tfrac32,e^-2t - e^-t

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