Determine a solução y(t) da equação diferencial ordinária a coeficientes constantes dada por
ddoty(t)+4 doty(t)+3 y(t)=3 e^-t, y(0)=0, doty(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO a coeficientes constantes
ddoty(t) + 4doty(t) + 3y(t) = 3e^-t,
com condições iniciais y(0)=0 e dot y(0)=1.
Conteúdo: solução geral de EDO linear por soma da solução homogênea e particular.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da homogênea associada
ddot yh +4dot yh +3yh=0
A equação característica é
r^2 +4r+3=0 ;;Longrightarrow;; r=-1,;-3
Logo
yh(t)=C1 e^-t + C2 e^-3t

Passo 3

Procuramos uma particular da forma yp(t)=A,t,e^-t, pois e^-t é raiz simples da característica. Calculamos
yp = A,t,e^-t, dot yp = A(1-t)e^-t, ddot yp = A(t-2)e^-t
Substituindo em ddot y+4dot y+3y:
ddot yp +4dot yp +3yp = Al[(t-2)+4(1-t)+3tr]e^-t =2A,e^-t
Queremos isso igual a 3e^-t, portanto 2A=3 e
A=tfrac32,
ou seja
yp(t)=tfrac32,t,e^-t

Passo 4

A solução geral é
y(t)=C1e^-t+C2e^-3t+tfrac32,t,e^-t
Impondo y(0)=0
C1 + C2 = 0Longrightarrow C2=-C1

Passo 5

Calculamos dot y(t) e usamos dot y(0)=1:
dot y = -C1e^-t-3C2e^-3t + tfrac32(1-t)e^-t,
logo em t=0:
dot y(0)=-C1-3C2 + tfrac32 = 1
Com C2=-C1 vem -C1-3(-C1)=2C1, então
2C1 + tfrac32 =1 Longrightarrow 2C1=-tfrac12 Longrightarrow C1=-tfrac14,
e C2=+tfrac14.

Resposta

boxed y(t) =-tfrac14e^-t+tfrac14e^-3t +tfrac32,t,e^-t

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