Calcule a solução y(t) da equação diferencial ordinária a coeficientes constantes dada por
ddoty(t)+4 doty(t)+4 y(t)=2 e^-t, y(0)=1, doty(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
ddoty(t) + 4doty(t) + 4y(t) = 2e^-t
sujeita a y(0)=1 e doty(0)=0. Para isso, vamos usar o método da soma da solução geral da homogênea e de uma particular pelo método dos coeficientes não determinados.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a homogênea
ddotyh + 4dotyh + 4yh = 0
A equação característica é
r^2 + 4r + 4 = 0,
que tem raiz dupla r=-2. Logo, a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1 e^-2t + C2 ,t,e^-2t

Passo 3

Em seguida, buscamos uma solução particular yp para o lado direito 2e^-t. Como r=-1 não coincide com a raiz da homogênea, fazemos o palpite
yp(t) = A e^-t
Derivando e substituindo em ddoty+4doty+4y:
dotyp = -A e^-t, ddotyp = A e^-t,
ddotyp + 4dotyp +4yp = l(A -4A +4Ar)e^-t = A e^-t
Igualando a 2e^-t A=2. Assim,
yp(t)=2e^-t

Passo 4

A solução geral é
y(t) = C1 e^-2t + C2,t,e^-2t + 2e^-t
Para aplicar as condições iniciais, precisamos de doty(t):
doty(t) = -2C1 e^-2t + C2 e^-2t(1-2t) -2e^-t
Em t=0:
y(0)=C1 + 0 + 2 =1 Longrightarrow C1 = -1,
doty(0)= -2C1 + C2 -2 = 0 Longrightarrow 2 + C2 -2 =0 Longrightarrow C2=0

Resposta

y(t) = 2e^-t - e^-2t

Exercícios relacionados