Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y)= 4+x^3+y^3+3 x y

Passo 1

O enunciado pede para determinar pontos críticos de
f(x,y)=4 + x^3 + y^3 + 3xy
e, usando o teste da segunda derivada (matriz Hessiana), classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar pontos críticos:
fx = partial fpartial x = 3x^2 + 3y, fy = partial fpartial y = 3y^2 + 3x
Logo, o sistema
3x^2 + 3y = 0, 3y^2 + 3x = 0
é equivalente a
x^2 + y = 0, y^2 + x = 0

Passo 3

Da primeira equação temos y=-x^2. Substituindo na segunda,
(-x^2)^2 + x = 0 Longrightarrow x^4 + x = 0 Longrightarrow x(x^3 + 1)=0,
portanto x=0 ou x=-1.
  • Se x=0, então y=-0^2=0, dando o ponto (0,0).
  • Se x=-1, então y=-(-1)^2=-1, dando o ponto (-1,-1).

Passo 4

Calculamos as segundas derivadas para formar a Hessiana:
fxx = 6x, fyy = 6y, fxy = fyx = 3
O determinante da Hessiana é
D(x,y) = fxxfyy - (fxy)^2 = (6x)(6y) - 3^2 = 36,xy - 9

Passo 5

Avaliamos D e fxx em cada ponto crítico:
  • Em (0,0): D(0,0) = -9 < 0, logo é ponto de sela.
  • Em (-1,-1): D(-1,-1) = 36cdot(-1)(-1) - 9 = 36 - 9 = 27 > 0, fxx(-1,-1) = 6cdot(-1) = -6 < 0, logo é máximo local.

Resposta

Ponto de sela em (0,0).
Máximo local em (-1,-1) com f(-1,-1)=5.
Não há mínimo local.

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