Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
Passo 1
O enunciado pede para determinar pontos críticos de
e, usando o teste da segunda derivada (matriz Hessiana), classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar pontos críticos:
Logo, o sistema
é equivalente a
Passo 3
Da primeira equação temos
y=-x^2 . Substituindo na segunda,
portanto
x=0 ou
x=-1 .
- Se
, entãox=0 , dando o pontoy=-0^2=0 .(0,0) - Se
, entãox=-1 , dando o pontoy=-(-1)^2=-1 .(-1,-1)
Passo 4
Calculamos as segundas derivadas para formar a Hessiana:
O determinante da Hessiana é
Passo 5
Avaliamos
D e
fxx em cada ponto crítico:
- Em
:(0,0) logo é ponto de sela.D(0,0) = -9 < 0, - Em
:(-1,-1) logo é máximo local.D(-1,-1) = 36cdot(-1)(-1) - 9 = 36 - 9 = 27 > 0, fxx(-1,-1) = 6cdot(-1) = -6 < 0,
Resposta
Ponto de sela em
(0,0) .
Máximo local em(-1,-1) com
f(-1,-1)=5 .
Não há mínimo local.
Máximo local em
Não há mínimo local.