Calcule uma solução geral para a equação diferencial
y^prime+1x y=cos x+sen xx, x>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é resolver uma equação diferencial do tipo:
y' + 1x y = cos x + sin xx, x > 0
Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar um método chamado fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Ela está no formato:
y' + P(x) y = Q(x),
onde:
  • P(x) = 1x
  • Q(x) = cos x + sin xx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(x) . Esse fator é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular a integral de P(x) = 1x :
integral 1x dx = ln |x| + C
Como estamos trabalhando com x > 0 , podemos simplificar para:
mu(x) = e^ln x = x

Passo 4

Com o fator integrante mu(x) = x , multiplicamos toda a equação diferencial original por mu(x) :
x y' + x cdot 1x y = x cdot cos x + x cdot sin xx
Simplificando:
x y' + y = x cos x + sin x

Passo 5

A esquerda da equação agora é a derivada do produto mu(x) y . Isso significa que:
ddx(x y) = x cos x + sin x
Para encontrar y , vamos integrar ambos os lados em relação a x :
integral ddx(x y) dx = integral (x cos x + sin x) dx
Isso nos dá:
x y = integral x cos x dx + integral sin x dx

Passo 6

Vamos resolver as integrais:
  1. Para integral x cos x dx , usamos integração por partes. Seja:
    • u = x Rightarrow du = dx
    • dv = cos x dx Rightarrow v = sin x
    Aplicando integração por partes:
integral x cos x dx = x sin x - integral sin x dx = x sin x + cos x + C
  1. Para integral sin x dx :
integral sin x dx = -cos x + C

Passo 7

Juntando as integrais:
x y = (x sin x + cos x) + (-cos x) + C = x sin x + C
Agora, isolamos y dividindo ambos os lados por x :
y = sin x + Cx

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = sin x + Cx,
onde C é uma constante arbitrária.

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