Calcule uma solução geral para a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é resolver uma equação diferencial do tipo:
Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar um método chamado fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Ela está no formato:
onde:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
. Esse fator é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Como estamos trabalhando com
, podemos simplificar para:
Passo 4
Com o fator integrante
, multiplicamos toda a equação diferencial original por
:
Simplificando:
Passo 5
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
. Isso significa que:
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Passo 6
Vamos resolver as integrais:
-
Para
, usamos integração por partes. Seja: Aplicando integração por partes: -
- Para
:
Passo 7
Juntando as integrais:
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante arbitrária.