Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que a gente precisa analisar:
O que a gente vai precisar aqui é descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Isso significa que vamos descobrir para quais valores de essa série “funciona”, ou seja, ela soma até um valor finito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a série para facilitar a análise. Observando o termo geral:
A gente pode reescrever isso como:
Isso ajuda a gente a visualizar melhor a estrutura da série, que é do tipo:
Onde e .
Passo 3
Agora, para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
O Teste da Razão diz que a série converge se:
Aplicando isso à nossa série, temos:
limn to infty | 2^(n+1)+15^n+1(x-2)^n+1 cdot 5^n2^n+1(x-2)^-n | = limn to infty | 2^n+25^n+1(x-2)^n+1 cdot 5^n2^n+1(x-2)^-n |
Simplificando isso:
| 2^15^1(x-2) | = | 2(x-2)5 |
Queremos que isso seja menor que 1 para a série convergir:
| 2(x-2)5 | < 1
Passo 4
Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de x que satisfazem:
| 2(x-2)5 | < 1
Podemos multiplicar ambos os lados por 52 (que é positivo, então a desigualdade não muda):
|x - 2| < 52
Isso nos dá o intervalo de x onde a série converge.
Passo 5
O raio de convergência R é a distância do centro do intervalo de convergência até qualquer uma das suas pontas. Da desigualdade |x - 2| < 52 , vemos que:
R = 52
Passo 6
Para encontrar o intervalo de convergência, usamos o centro c = 2 e o raio R = 52 . Assim, o intervalo é:
2 - 52 < x < 2 + 52
Simplificando:
- 12 < x < 92
Resposta
O raio de convergência da série é 52 e o intervalo de convergência é ( -12, 92 ) .