Resolva a equação diferencial d yd x+3 x^2 y=6 x^2.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial de primeira ordem linear dydx + 3x^2 y = 6x^2. O conteúdo é EDO linear de 1ª ordem e vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Para EDOs lineares de 1ª ordem no formato y' + P(x)y = Q(x), o fator integrante é mu(x) = e^integral P(x),dx. Aqui temos P(x)=3x^2, então calculamos
mu(x) = e^integral 3x^2,dx = e^x^3

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x), obtemos
e^x^3y' + 3x^2e^x^3y = 6x^2e^x^3
Reconhecendo o lado esquerdo como derivada de produto, temos
ddxl(y,e^x^3r) = 6x^2e^x^3

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(y,e^x^3r),dx = integral 6x^2e^x^3,dx implies y,e^x^3 = integral 6x^2e^x^3,dx + C
Para calcular a integral do lado direito, usamos substituição u = x^3, du = 3x^2,dx, resultando em
integral 6x^2e^x^3,dx = 2e^x^3
Logo
y,e^x^3 = 2e^x^3 + C

Passo 5

Dividindo ambos os lados por e^x^3, isolamos y e chegamos à solução geral
y = 2 + C,e^-x^3

Resposta

O conjunto das soluções é y(x) = 2 + C e^-x^3, onde C é constante arbitrária.

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