Decida se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n nn^2+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a série sumn=1^infty (-1)^n nn^2+1. O que a gente precisa descobrir é se essa série converge (ou seja, se soma chega a um número finito) ou diverge (não soma para nada específico). Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que é uma ferramenta bem útil para séries que têm termos que mudam de sinal alternadamente, como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que está alternando na série. Aqui, a parte (-1)^n é que faz os sinais mudarem a cada termo. O que sobra, nn^2+1, é a “parte positiva” de cada termo. Vamos chamar isso de an = nn^2+1.

Passo 3

Agora, para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
  1. O an está diminuindo? Ou seja, cada termo é menor que o anterior.
  2. O limite de an quando n vai para infinito é zero?
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 4

1. Verificando se an está diminuindo:
Vamos olhar para an = nn^2+1. Para ver se está diminuindo, podemos comparar an com an+1:
an+1 = n+1(n+1)^2 +1 = n+1n^2 + 2n + 2
De forma geral, conforme n aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, fazendo com que an diminua. Então, sim, an está diminuindo.

Passo 5

2. Verificando o limite de an quando n vai para infinito:
Vamos calcular:
limn to infty nn^2+1
Podemos dividir o numerador e o denominador por n:
= limn to infty 1n + 1n = 1infty + 0 = 0
Então, o limite de an é zero.

Passo 6

Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas (os termos diminuem e o limite é zero), podemos concluir que a série sumn=1^infty (-1)^n nn^2+1 converge.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n nn^2+1 converge.

Exercícios relacionados