Decida se a série converge ou diverge.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a série
. O que a gente precisa descobrir é se essa série converge (ou seja, se soma chega a um número finito) ou diverge (não soma para nada específico). Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que é uma ferramenta bem útil para séries que têm termos que mudam de sinal alternadamente, como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que está alternando na série. Aqui, a parte
é que faz os sinais mudarem a cada termo. O que sobra,
, é a “parte positiva” de cada termo. Vamos chamar isso de
.
Passo 3
Agora, para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
- O
está diminuindo? Ou seja, cada termo é menor que o anterior. - O limite de
quando vai para infinito é zero?
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 4
1. Verificando se
está diminuindo:
Vamos olhar para
. Para ver se está diminuindo, podemos comparar
com
:
De forma geral, conforme
aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador, fazendo com que
diminua. Então, sim,
está diminuindo.
Passo 5
2. Verificando o limite de
quando
vai para infinito:
Vamos calcular:
Podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Então, o limite de
é zero.
Passo 6
Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas (os termos diminuem e o limite é zero), podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge.