Encontre a solução de t y^prime-2 y=4 t^2, onde y(1)=2

Passo 1

O problema nos dá a equação diferencial
t,y'(t) - 2,y(t) = 4,t^2,
com a condição inicial y(1)=2.
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem em y. Para resolver, vamos colocá-la em forma padrão e usar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividimos toda a equação por t (supondo tneq0) para obter a forma
y'(t) - 2t,y(t) = 4,t

Passo 3

O fator integrante mu(t) satisfaz
mu(t) = expl(integral -2t,dtr) = expl(-2ln tr) = t^-2

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(t)=t^-2, temos
t^-2y'(t) - 2,t^-3y(t) = 4,t^-1
Mas o lado esquerdo é justamente a derivada de t^-2y(t), ou seja,
ddtl(t^-2y(t)r) = 4t
Integrando ambos os lados em relação a t, obtemos
integral ddtl(t^-2y(t)r),dt = integral 4t,dt Longrightarrow t^-2y(t) = 4ln t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y(t), vem
y(t) = t^2l(4ln t + Cr)

Passo 6

Usamos a condição inicial y(1)=2:
y(1) = 1^2l(4ln1 + Cr) = C = 2
Logo C=2.

Resposta

boxedy(t) = t^2l(4ln t + 2r)

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