Calcule uma solução geral para a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
A matéria que estamos usando aqui é Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior com Coeficientes Constantes. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e da solução particular (que resolve a equação completa). Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, fazemos a equação característica substituindo
por
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são
e
.
A solução geral da parte homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Observamos que o lado direito é
. Como
já é uma solução da parte homogênea (já está em
), precisamos multiplicar por
para garantir que a solução particular seja linearmente independente. Então, vamos supor que:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Ao derivar novamente, ficaria um pouco trabalhoso, mas essencial para substituir na equação original. Após calcular
, substituímos
,
e
na equação diferencial e igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar
e
.
Após simplificar e resolver, encontramos:
Então, a solução particular é:
Passo 5
Finalmente, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.