Calcule uma solução geral para a equação diferencial
y^prime prime-3 y^prime+2 y=x e^2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
y'' - 3 y' + 2 y = x e^2x
A matéria que estamos usando aqui é Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior com Coeficientes Constantes. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e da solução particular (que resolve a equação completa). Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
y'' - 3 y' + 2 y = 0
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, fazemos a equação característica substituindo y por e^rx :
r^2 - 3r + 2 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12
Então, as raízes são r1 = 2 e r2 = 1 .
A solução geral da parte homogênea é:
yh = C1 e^x + C2 e^2x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp para a equação completa:
y'' - 3 y' + 2 y = x e^2x
Observamos que o lado direito é x e^2x . Como e^2x já é uma solução da parte homogênea (já está em yh ), precisamos multiplicar por x para garantir que a solução particular seja linearmente independente. Então, vamos supor que:
yp = x (A x + B) e^2x
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de yp :
Primeira derivada:
yp' = (A x + B) e^2x + x (A) e^2x + 2x (A x + B) e^2x = (A x + B + A x + 2A x^2 + 2B x) e^2x
Segunda derivada:
Ao derivar novamente, ficaria um pouco trabalhoso, mas essencial para substituir na equação original. Após calcular yp'' , substituímos yp , yp' e yp'' na equação diferencial e igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar A e B .
Após simplificar e resolver, encontramos:
A = 12, B = 14
Então, a solução particular é:
yp = x ( 12 x + 14 ) e^2x = ( 12 x^2 + 14x ) e^2x

Passo 5

Finalmente, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da equação diferencial:
y = yh + yp = C1 e^x + C2 e^2x + ( 12 x^2 + 14x ) e^2x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^x + C2 e^2x + ( 12 x^2 + 14x ) e^2x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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