Um móvel desloca-se sobre o eixo
com aceleração proporcional à diferença entre sua derivada primeira e ela própria. Determine
sabendo que, ainda
e
.
Passo 1
O enunciado diz que um móvel tem aceleração proporcional à diferença entre sua velocidade e sua posição. Sejam
a posição e
a velocidade, então
para alguma constante
. Além disso temos as condições iniciais
O conteúdo é resolução de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Escrevemos a EDO na forma padrão e montamos a equação característica:
As raízes são
A solução geral é
Passo 3
Usamos
e
. Como
, temos
. Em seguida
Por outro lado,
Mas
, então da condição
segue
.
Passo 4
Com
as raízes são
Logo a solução geral torna-se
Aplicando
dá
. Calculando
temos
, logo
.
Passo 5
Portanto a solução que satisfaz todas as condições iniciais é