Um móvel desloca-se sobre o eixo x com aceleração proporcional à diferença entre sua derivada primeira e ela própria. Determine f sabendo que, ainda f(0)=0 e f^prime(0)=1. f^prime prime(0)=2

Passo 1

O enunciado diz que um móvel tem aceleração proporcional à diferença entre sua velocidade e sua posição. Sejam f(x) a posição e f'(x) a velocidade, então
f''(x) = kl(f'(x)-f(x)r),
para alguma constante k. Além disso temos as condições iniciais
f(0)=0, f'(0)=1, f''(0)=2
O conteúdo é resolução de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Escrevemos a EDO na forma padrão e montamos a equação característica:
f'' - k f' + k f = 0 Longrightarrow r^2 - k,r + k = 0
As raízes são
r1,2 = kpmraizk^2-4k2
A solução geral é
f(x) = A e^r1 x + B e^r2 x

Passo 3

Usamos f(0)=0 e f'(0)=1. Como f(0)=A+B=0, temos B=-A. Em seguida
f'(x)=A r1 e^r1 x+B r2 e^r2 x Longrightarrow f'(0)=A(r1-r2)=1 ;Longrightarrow; A=1r1-r2
Por outro lado,
f''(0)=A,r1^2 + B,r2^2 = Al(r1^2-r2^2r) = A(r1-r2)(r1+r2) = r1+r2
Mas r1+r2 = k, então da condição f''(0)=2 segue k=2.

Passo 4

Com k=2 as raízes são
r1,2 = 2pmraiz4-82 = 1pm i
Logo a solução geral torna-se
f(x)=e^xl(C1cos x + C2sin xr)
Aplicando f(0)=0 C1=0. Calculando
f'(x)=e^xl(sin x+cos xr)
temos f'(0)=C1+C2=1, logo C2=1.

Passo 5

Portanto a solução que satisfaz todas as condições iniciais é
f(x) = e^xsin x

Resposta

f(x) = e^xsin x

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